Vetor de Darboux: O vetor de Darboux é definido como
. Mostre que as equações de Frenet podem ser reescritas em termos de produto vetorial como:
Passo 1
O enunciado dá a definição do vetor de Darboux e pede para reescrever as equações de Frenet em forma vetorial usando produto vetorial. Informações e pedido claramente listados:
- É dada a definição do vetor de Darboux
:
onde
é a curvatura e
é a torção da curva.
- As notações:
é o vetor unitário tangente, é o vetor normal principal, é o binormal, e a derivada prime ( ) significa derivada em relação ao parâmetro de comprimento de arco : , etc. - O que se pede: mostrar que as equações de Frenet
podem ser reescritas como
Passo 2
Lembrar e explicitar propriedades do produto vetorial que vamos usar (sem pular etapas):
- O produto vetorial é linear: para vetores
e escalares ,
- O produto vetorial com si mesmo é zero:
- Anti-comutatividade:
- Para uma base ortonormal
(triê direito) valem as relações cíclicas:
Essas relações vêm do fato de que
formam uma base ortonormal e obedecem à regra da mão direita.
Passo 3
Preparar a estratégia: usar a linearidade do produto vetorial e as relações da base ortonormal para calcular
,
e
explicitamente, e comparar com as fórmulas de Frenet. Não há necessidade de outra identidade vetorial complicada além das listadas.
Passo 4
Calcular
passo a passo usando a definição
e linearidade:
Aplicar agora as propriedades:
e
. Logo
Isto coincide exatamente com a equação de Frenet
. Portanto a primeira igualdade está provada:
Passo 5
Calcular
de forma análoga:
Usar as relações da base:
e
(porque
). Assim
Isto coincide exatamente com a equação de Frenet
. Portanto a segunda igualdade está provada:
Passo 6
Calcular
:
Usar
e
(pois
). Logo
Isto coincide exatamente com a equação de Frenet
. Portanto a terceira igualdade está provada:
Passo 7
Conclusão pedagogicamente reforçada: cada uma das três equações de Frenet aparece naturalmente como um produto vetorial entre o vetor de Darboux
e o correspondente vetor da tríade
, graças à linearidade do produto vetorial e às relações cíclicas da base ortonormal. Assim as três igualdades vetoriais são equivalentes às equações usuais de Frenet.