Vetor de Darboux: O vetor de Darboux é definido como \mathbf{w}=\tau \mathbf{T}+\kappa \mathbf{B}. Mostre que as equações de Frenet podem ser reescritas em termos de produto vetorial como:
\mathbf{T}^{\prime}=\mathbf{w} \times \mathbf{T}, \quad \mathbf{N}^{\prime}=\mathbf{w} \times \mathbf{N}, \quad \mathbf{B}^{\prime}=\mathbf{w} \times \mathbf{B}

Passo 1

O enunciado dá a definição do vetor de Darboux e pede para reescrever as equações de Frenet em forma vetorial usando produto vetorial. Informações e pedido claramente listados:
  • É dada a definição do vetor de Darboux \mathbf{w}:
\mathbf{w}=\tau \mathbf{T}+\kappa \mathbf{B},
onde \kappa é a curvatura e \tau é a torção da curva.
  • As notações: \mathbf{T} é o vetor unitário tangente, \mathbf{N} é o vetor normal principal, \mathbf{B} é o binormal, e a derivada prime ( ') significa derivada em relação ao parâmetro de comprimento de arco s: \mathbf{T}'=\dfrac{d\mathbf{T}}{ds}, etc.
  • O que se pede: mostrar que as equações de Frenet
\mathbf{T}'=\kappa \mathbf{N},\qquad \mathbf{N}'=-\kappa\mathbf{T}+\tau\mathbf{B},\qquad \mathbf{B}'=-\tau\mathbf{N}
podem ser reescritas como
\mathbf{T}'=\mathbf{w}\times\mathbf{T},\qquad \mathbf{N}'=\mathbf{w}\times\mathbf{N},\qquad \mathbf{B}'=\mathbf{w}\times\mathbf{B}.

Passo 2

Lembrar e explicitar propriedades do produto vetorial que vamos usar (sem pular etapas):
  • O produto vetorial é linear: para vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{a},\mathbf{b} e escalares \alpha,\beta,
(\alpha \mathbf{u}+\beta \mathbf{v})\times\mathbf{a}=\alpha(\mathbf{u}\times\mathbf{a})+\beta(\mathbf{v}\times\mathbf{a}).
  • O produto vetorial com si mesmo é zero:
\mathbf{u}\times\mathbf{u}=\mathbf{0}.
  • Anti-comutatividade:
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=-(\mathbf{v}\times\mathbf{u}).
  • Para uma base ortonormal \{\mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}\} (triê direito) valem as relações cíclicas:
\mathbf{T}\times\mathbf{N}=\mathbf{B},\qquad \mathbf{N}\times\mathbf{B}=\mathbf{T},\qquad \mathbf{B}\times\mathbf{T}=\mathbf{N}.
Essas relações vêm do fato de que \{\mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}\} formam uma base ortonormal e obedecem à regra da mão direita.

Passo 3

Preparar a estratégia: usar a linearidade do produto vetorial e as relações da base ortonormal para calcular \mathbf{w}\times\mathbf{T}, \mathbf{w}\times\mathbf{N} e \mathbf{w}\times\mathbf{B} explicitamente, e comparar com as fórmulas de Frenet. Não há necessidade de outra identidade vetorial complicada além das listadas.

Passo 4

Calcular \mathbf{w}\times\mathbf{T} passo a passo usando a definição \mathbf{w}=\tau\mathbf{T}+\kappa\mathbf{B} e linearidade:
\mathbf{w}\times\mathbf{T}=(\tau\mathbf{T}+\kappa\mathbf{B})\times\mathbf{T} =\tau(\mathbf{T}\times\mathbf{T})+\kappa(\mathbf{B}\times\mathbf{T}).
Aplicar agora as propriedades: \mathbf{T}\times\mathbf{T}=\mathbf{0} e \mathbf{B}\times\mathbf{T}=\mathbf{N}. Logo
\mathbf{w}\times\mathbf{T}=\tau\mathbf{0}+\kappa\mathbf{N}=\kappa\mathbf{N}.
Isto coincide exatamente com a equação de Frenet \mathbf{T}'=\kappa\mathbf{N}. Portanto a primeira igualdade está provada:
\mathbf{T}'=\mathbf{w}\times\mathbf{T}.

Passo 5

Calcular \mathbf{w}\times\mathbf{N} de forma análoga:
\mathbf{w}\times\mathbf{N}=(\tau\mathbf{T}+\kappa\mathbf{B})\times\mathbf{N} =\tau(\mathbf{T}\times\mathbf{N})+\kappa(\mathbf{B}\times\mathbf{N}).
Usar as relações da base: \mathbf{T}\times\mathbf{N}=\mathbf{B} e \mathbf{B}\times\mathbf{N}=-(\mathbf{N}\times\mathbf{B})= -\mathbf{T} (porque \mathbf{N}\times\mathbf{B}=\mathbf{T}). Assim
\mathbf{w}\times\mathbf{N}=\tau\mathbf{B}+\kappa(-\mathbf{T})=-\kappa\mathbf{T}+\tau\mathbf{B}.
Isto coincide exatamente com a equação de Frenet \mathbf{N}'=-\kappa\mathbf{T}+\tau\mathbf{B}. Portanto a segunda igualdade está provada:
\mathbf{N}'=\mathbf{w}\times\mathbf{N}.

Passo 6

Calcular \mathbf{w}\times\mathbf{B}:
\mathbf{w}\times\mathbf{B}=(\tau\mathbf{T}+\kappa\mathbf{B})\times\mathbf{B} =\tau(\mathbf{T}\times\mathbf{B})+\kappa(\mathbf{B}\times\mathbf{B}).
Usar \mathbf{B}\times\mathbf{B}=\mathbf{0} e \mathbf{T}\times\mathbf{B}=-(\mathbf{B}\times\mathbf{T})=-(\mathbf{N}) (pois \mathbf{B}\times\mathbf{T}=\mathbf{N}). Logo
\mathbf{w}\times\mathbf{B}=\tau(-\mathbf{N})+\kappa\mathbf{0}=-\tau\mathbf{N}.
Isto coincide exatamente com a equação de Frenet \mathbf{B}'=-\tau\mathbf{N}. Portanto a terceira igualdade está provada:
\mathbf{B}'=\mathbf{w}\times\mathbf{B}.

Passo 7

Conclusão pedagogicamente reforçada: cada uma das três equações de Frenet aparece naturalmente como um produto vetorial entre o vetor de Darboux \mathbf{w}=\tau\mathbf{T}+\kappa\mathbf{B} e o correspondente vetor da tríade \mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}, graças à linearidade do produto vetorial e às relações cíclicas da base ortonormal. Assim as três igualdades vetoriais são equivalentes às equações usuais de Frenet.

Resposta

\mathbf{T}^{\prime}=\mathbf{w}\times\mathbf{T},\quad \mathbf{N}^{\prime}=\mathbf{w}\times\mathbf{N},\quad \mathbf{B}^{\prime}=\mathbf{w}\times\mathbf{B}

Exercícios relacionados