Desigualdade Isoperimétrica: Considere uma curva plana fechada e simples de comprimento
que delimita uma área
.
(a) Enuncie a desigualdade isoperimétrica.
(a) Enuncie a desigualdade isoperimétrica.
Passo 1
O enunciado dá uma curva plana, fechada e simples, de comprimento
que delimita uma área
. A pergunta é: enuncie a desigualdade isoperimétrica (ou seja, escreva a relação matemática entre
e
e explique quando ocorre igualdade).
Passo 2
Enuncie a desigualdade de forma clara e simbólica. A desigualdade isoperimétrica diz que, para qualquer curva plana, fechada e simples de comprimento
que delimita uma área
,
Esta é a forma mais comum; equivalentemente pode ser escrita como
Passo 3
Explique o que significam os símbolos e a interpretação geométrica. Aqui:
-
;é o comprimento total da curva (perímetro). -
;é a área do domínio planar delimitado pela curva.
A desigualdade afirma, geometricamente, que para um dado comprimento de contornoa maior área possível que se pode cercar é . Em linguagem alternativa: entre todas as curvas fechadas e simples com perímetro fixo, a que maximiza a área é o círculo.
Passo 4
Mostre que o círculo alcança a igualdade (verificação simples e útil para a prova): para um círculo de raio
tem-se comprimento
e área
. Substituindo,
logo
no caso do círculo. Portanto o círculo é o caso de igualdade.
Passo 5
Comentários intuitivos e sobre igualdade: a desigualdade mostra que qualquer outra forma com o mesmo perímetro terá área estritamente menor que a do círculo. A condição de igualdade ocorre somente quando a curva é um círculo (mais precisamente: quando o bordo é uma curva circular simples, isto é, um círculo). Existem várias demonstrações desta desigualdade — por exemplo via transformações de Steiner (simetrização), via argumentos de cálculo variacional, ou via desigualdades de Fourier/Wirtinger — mas o enunciado pedido aqui é apenas a afirmação e a observação sobre o caso de igualdade.
Resposta
com igualdade se, e somente se, a curva é um círculo.