Desigualdade Isoperimétrica: Considere uma curva plana fechada e simples de comprimento L que delimita uma área A.
(a) Enuncie a desigualdade isoperimétrica.

Passo 1

O enunciado dá uma curva plana, fechada e simples, de comprimento L que delimita uma área A. A pergunta é: enuncie a desigualdade isoperimétrica (ou seja, escreva a relação matemática entre L e A e explique quando ocorre igualdade).

Passo 2

Enuncie a desigualdade de forma clara e simbólica. A desigualdade isoperimétrica diz que, para qualquer curva plana, fechada e simples de comprimento L que delimita uma área A,
4\pi A \le L^{2}.
Esta é a forma mais comum; equivalentemente pode ser escrita como
A \le \frac{L^{2}}{4\pi}.

Passo 3

Explique o que significam os símbolos e a interpretação geométrica. Aqui:
  • \,L;é o comprimento total da curva (perímetro).
  • \,A;é a área do domínio planar delimitado pela curva.
    A desigualdade afirma, geometricamente, que para um dado comprimento de contorno L a maior área possível que se pode cercar é \dfrac{L^{2}}{4\pi}. Em linguagem alternativa: entre todas as curvas fechadas e simples com perímetro fixo, a que maximiza a área é o círculo.

Passo 4

Mostre que o círculo alcança a igualdade (verificação simples e útil para a prova): para um círculo de raio r tem-se comprimento L=2\pi r e área A=\pi r^{2}. Substituindo,
L^{2}=(2\pi r)^{2}=4\pi^{2}r^{2} \qquad\text{e}\qquad 4\pi A=4\pi(\pi r^{2})=4\pi^{2}r^{2},
logo 4\pi A=L^{2} no caso do círculo. Portanto o círculo é o caso de igualdade.

Passo 5

Comentários intuitivos e sobre igualdade: a desigualdade mostra que qualquer outra forma com o mesmo perímetro terá área estritamente menor que a do círculo. A condição de igualdade ocorre somente quando a curva é um círculo (mais precisamente: quando o bordo é uma curva circular simples, isto é, um círculo). Existem várias demonstrações desta desigualdade — por exemplo via transformações de Steiner (simetrização), via argumentos de cálculo variacional, ou via desigualdades de Fourier/Wirtinger — mas o enunciado pedido aqui é apenas a afirmação e a observação sobre o caso de igualdade.

Resposta

4\pi A \le L^{2},
com igualdade se, e somente se, a curva é um círculo.

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