Um vetor direção passa pelo meio de um cubo unitário da posição (1, 0, 3/4) para a posição (1/4, 1, 1/4). Quais são seus indices de direção?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre encontrar os índices de direção de um vetor que passa pelo meio de um cubo unitário, indo do ponto até o ponto . Isso envolve o conteúdo de Vetores no Espaço. Para resolver, vamos precisar calcular o vetor diretor entre esses dois pontos e depois simplificar para encontrar os índices de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o vetor que liga dois pontos no espaço, subtraímos as coordenadas correspondentes. Então, se temos os pontos v = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) e , o vetor que vai de até é dado por:

Passo 3

Aplicando essa fórmula aos nossos pontos:
v = ( 14 - 1, 1 - 0, 14 - 34 ) = ( -34, 1, -12 )

Passo 4

Agora que temos o vetor , precisamos encontrar os índices de direção. Os índices de direção são os números inteiros na menor proporção que representam a direção do vetor. Para isso, vamos multiplicar cada componente por um número que elimine os denominadores fracionários.

Passo 5

Observando as frações, o menor múltiplo comum dos denominadores v' = 4 times ( -34, 1, -12 ) = ( -3, 4, -2 ) e é . Então, multiplicamos cada componente do vetor por :

Passo 6

Agora, os componentes já são inteiros e não têm um divisor comum além de . Então, esses são os índices de direção do vetor.

Resposta

Os índices de direção do vetor são .

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