Um vetor \vec{A} de módulo 8,0 \mathrm{~m} é somado a um vetor \vec{B} paralelo ao eixo x. A soma é um vetor paralelo ao eixo y e de módulo 2 vezes maior que |\vec{B}|. Determine o módulo de \vec{B}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Dados: o vetor \vec{A} tem módulo |\vec{A}|=8{,}0\\ \mathrm{m}.
  • O vetor \vec{B} é paralelo ao eixo x.
  • A soma \vec{A}+\vec{B} é um vetor paralelo ao eixo y e tem módulo igual a duas vezes o módulo de \vec{B}: |\vec{A}+\vec{B}|=2\,|\vec{B}|.
  • Pergunta: determinar o módulo de \vec{B}, isto é, encontrar |\vec{B}|.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas com eixos x e y. Vou representar vetores por suas componentes. Como \vec{B} é paralelo ao eixo x, posso escrever
\vec{B}=(b,0),
onde b é o componente x de \vec{B} e, como estamos procurando o módulo, vamos chamar |\vec{B}|=b (aqui b\ge0). Expliquei isso porque um vetor paralelo a x só tem componente x.

Passo 3

Escrevo \vec{A} por componentes também:
\vec{A}=(A_x,A_y).
A condição de que \vec{A}+\vec{B} é paralelo ao eixo y significa que a componente x da soma é zero. Ou seja,
A_x + b = 0.
Portanto
A_x = -b.
Isto é lógico: o componente x de \vec{A} deve anular o componente x de \vec{B} para que a soma não tenha parte em x.

Passo 4

Agora uso a definição do módulo de \vec{A}. O módulo ao quadrado é soma dos quadrados das componentes:
|\vec{A}|^2 = A_x^2 + A_y^2.
Como |\vec{A}|=8{,}0\\ \mathrm{m}, temos
64 = A_x^2 + A_y^2.
Substituindo A_x=-b,
64 = b^2 + A_y^2.
Isolando A_y,
A_y^2 = 64 - b^2,
logo
|A_y| = \sqrt{64 - b^2}.
Obs.: A_y pode ser positivo ou negativo, mas seu valor absoluto é o módulo da componente y.

Passo 5

A componente y da soma \vec{A}+\vec{B} é simplesmente A_y (pois \vec{B} não tem componente y). Assim o módulo do vetor resultante é
|\vec{A}+\vec{B}| = |A_y| = \sqrt{64 - b^2}.
Pelo enunciado esse módulo vale 2\,|\vec{B}| = 2b. Então obtemos a equação
\sqrt{64 - b^2} = 2b.
Note que o lado esquerdo é não-negativo e b\ge0, então podemos elevar ao quadrado sem ambiguidades.

Passo 6

Elevo ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
64 - b^2 = 4b^2.
Reorganizando,
64 = 5b^2.
Logo
b^2 = \frac{64}{5}.

Passo 7

Tirando a raiz quadrada e lembrando que b\ge0,
b = \sqrt{\frac{64}{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}}.
Racionalizando (forma alternativa),
b = \frac{8\sqrt{5}}{5}.

Passo 8

Faço uma aproximação numérica para ficar prático na prova:
\frac{8}{\sqrt{5}}\approx 3{,}5777\ldots\\ \mathrm{m},
arredondando com dois dígitos relevantes (o dado 8{,}0 tem duas casas significativas) dá 3{,}58\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Verificação rápida: calcular |\vec{A}+\vec{B}|=\sqrt{64-b^2}. Com b^2=64/5,
\sqrt{64-\frac{64}{5}}=\sqrt{\frac{256}{5}}=\frac{16}{\sqrt{5}}=2\cdot\frac{8}{\sqrt{5}}=2b,
confirma a condição do enunciado. Tudo consistente.

Resposta

\left|\vec{B}\right|=\dfrac{8}{\sqrt{5}}\\ \mathrm{m}=\dfrac{8\sqrt{5}}{5}\\ \mathrm{m}\approx 3{,}58\\ \mathrm{m}

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