Um vetor
de módulo
é somado a um vetor
paralelo ao eixo
. A soma é um vetor paralelo ao eixo
e de módulo 2 vezes maior que
. Determine o módulo de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Dados: o vetor
tem módulo . - O vetor
é paralelo ao eixo . - A soma
é um vetor paralelo ao eixo e tem módulo igual a duas vezes o módulo de : . - Pergunta: determinar o módulo de
, isto é, encontrar .
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas com eixos
e
. Vou representar vetores por suas componentes. Como
é paralelo ao eixo
, posso escrever
onde
é o componente
de
e, como estamos procurando o módulo, vamos chamar
(aqui
). Expliquei isso porque um vetor paralelo a
só tem componente
.
Passo 3
Escrevo
por componentes também:
A condição de que
é paralelo ao eixo
significa que a componente
da soma é zero. Ou seja,
Portanto
Isto é lógico: o componente
de
deve anular o componente
de
para que a soma não tenha parte em
.
Passo 4
Agora uso a definição do módulo de
. O módulo ao quadrado é soma dos quadrados das componentes:
Como
, temos
Substituindo
,
Isolando
,
logo
Obs.:
pode ser positivo ou negativo, mas seu valor absoluto é o módulo da componente
.
Passo 5
A componente
da soma
é simplesmente
(pois
não tem componente
). Assim o módulo do vetor resultante é
Pelo enunciado esse módulo vale
. Então obtemos a equação
Note que o lado esquerdo é não-negativo e
, então podemos elevar ao quadrado sem ambiguidades.
Passo 6
Elevo ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Reorganizando,
Logo
Passo 7
Tirando a raiz quadrada e lembrando que
,
Racionalizando (forma alternativa),
Passo 8
Faço uma aproximação numérica para ficar prático na prova:
arredondando com dois dígitos relevantes (o dado
tem duas casas significativas) dá
.
Passo 9
Verificação rápida: calcular
. Com
,
confirma a condição do enunciado. Tudo consistente.