Determine o módulo do vetor \vec{A} \times(\vec{A} \times \vec{B}), se |\vec{A}|=3,9,|\vec{B}|=2,7 e o ângulo entre eles é 63^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma quantidade só:
  • Dados:
    |\vec{A}| = \(3,9),
    |\vec{B}| = \(2,7),
    o ângulo entre \vec{A} e \vec{B} é 63^\circ.
  • Pedido: determinar o módulo de \vec{A}\times(\vec{A}\times\vec{B}).

Passo 2

Vamos usar uma identidade vetorial útil (vou explicar o que ela significa): para quaisquer vetores \vec{A} e \vec{B} vale
\vec{A}\times(\vec{A}\times\vec{B}) = \vec{A}(\vec{A}\cdot\vec{B}) - \vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{A}).
Isso é chamado de identidade do produto triplo vetorial. Intuição curta: o produto \vec{A}\times\vec{B} é perpendicular a \vec{A}; então \vec{A}\times(\vec{A}\times\vec{B}) fica num plano gerado por \vec{A} e \vec{B} e pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores — a identidade dá exatamente essa combinação.

Passo 3

Agora explico como obter os escalares que aparecem:
  • O produto escalar \vec{A}\cdot\vec{B} vale |\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre eles. Aqui \theta = 63^\circ. Logo
\vec{A}\cdot\vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos 63^\circ = \(3,9\)\cdot\(2,7\)\cos 63^\circ.
  • Também \vec{A}\cdot\vec{A}=|\vec{A}|^2 = \(3,9^2).

Passo 4

Aplicando a identidade do Passo 2 obtemos
\vec{A}\times(\vec{A}\times\vec{B}) = (\vec{A}\cdot\vec{B})\;\vec{A} - |\vec{A}|^2\;\vec{B}.
Para abreviar, defina a=|\vec{A}|=\(3,9), b=|\vec{B}|=\(2,7) e k=\vec{A}\cdot\vec{B}=ab\cos 63^\circ. Então o vetor é
k\vec{A} - a^2\vec{B}.

Passo 5

Vamos achar o módulo desse vetor. Em geral, para vetores \vec{u} e \vec{v},
|\vec{u}-\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2\,\vec{u}\cdot\vec{v}.
Aplicando com \vec{u}=k\vec{A} e \vec{v}=a^2\vec{B}:
\begin{aligned} \big|\;k\vec{A}-a^2\vec{B}\;\big|^2 &= k^2|\vec{A}|^2 + a^4|\vec{B}|^2 - 2k a^2(\vec{A}\cdot\vec{B})\\\ &= k^2 a^2 + a^4 b^2 - 2k a^2 k \quad\text{(pois }\vec{A}\cdot\vec{B}=k\text{)}\\\ &= a^2\big(a^2 b^2 - k^2\big). \end{aligned}
Agora substituímos k=ab\cos 63^\circ. Então
a^2 b^2 - k^2 = a^2 b^2 - a^2 b^2\cos^2 63^\circ = a^2 b^2(1-\cos^2 63^\circ) = a^2 b^2\sin^2 63^\circ.
Logo
\big|\vec{A}\times(\vec{A}\times\vec{B})\big|^2 = a^2\cdot a^2 b^2\sin^2 63^\circ = a^4 b^2\sin^2 63^\circ.

Passo 6

Tirando raiz positiva (o módulo é não-negativo),
\big|\vec{A}\times(\vec{A}\times\vec{B})\big| = a^2 b \sin 63^\circ.
Substituindo a=\(3,9) e b=\(2,7):
\big|\vec{A}\times(\vec{A}\times\vec{B})\big| = \(3,9\)^2\cdot\(2,7\)\cdot\sin 63^\circ.

Passo 7

Agora calculo numericamente. Primeiro 3,9^2 = 15,21. Multiplicando por 2,7
15,21\cdot2,7 = 41,067.
O valor de \sin 63^\circ é aproximadamente 0,891006524. Multiplicando:
41,067\cdot 0,891006524 \approx 36,591\\ (\text{arredondado}).

Resposta

\;36,591\;

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