Se o vetor \vec{w}=(1,18) é expressado como \vec{w}=\vec{u}+\vec{v} onde \vec{u} \| \vec{x} e \vec{v} \| \vec{y} \operatorname{com} \vec{x}=(-1,4) e \vec{y}=(2,3), encontre o vetor \vec{u}.

Passo 1

O enunciado pede para decompor o vetor \vec{w}=(1,18) em \vec{w}=\vec{u}+\vec{v},
onde \vec{u} é paralelo a \vec{x}=(-1,4) e \vec{v} é paralelo a \vec{y}=(2,3).
Isso significa que existem escalares \alpha e \beta tais que \vec{u}=\alpha\,\vec{x} e \vec{v}=\beta\,\vec{y}.

Passo 2

Substituindo essas expressões em \vec{w}=\vec{u}+\vec{v} temos
\alpha\,\vec{x}+\beta\,\vec{y} =\alpha(-1,4)+\beta(2,3) =(1,18).
Isso gera um sistema linear para \alpha e \beta.

Passo 3

Escrevendo as componentes em cada coordenada, o sistema fica
\begin{cases} -\,\alpha + 2\,\beta = 1,\\\\ 4\,\alpha + 3\,\beta = 18. \end{cases}

Passo 4

Da primeira equação vem \alpha=2\beta-1. Substituindo na segunda:
4(2\beta-1)+3\beta=18 \;\Longrightarrow\;8\beta-4+3\beta=18 \;\Longrightarrow\;11\beta=22 \;\Longrightarrow\;\beta=2,
logo \alpha=2\cdot2-1=3.

Passo 5

Assim \vec{u}=\alpha\,\vec{x}=3(-1,4)=(-3,12).

Resposta

\vec{u}=(-3,12).

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