Definição: Sejam
vetores do plano, dizemos que
é paralelo a
, que denotamos
, se
é múltiplo de
ou
é múltiplo de
.
Sejam
e
vetores do plano com
, se
e
mostre que
.
Sejam
Passo 1
O enunciado define paralelismo no plano: dizemos que
é paralelo a
(denotado
) se um é múltiplo escalar do outro. Aqui temos três vetores
com
e sabemos que
e
. O objetivo é mostrar que então
. Vamos usar a definição de múltiplo escalar e analisar casos conforme os escalares envolvidos.
Passo 2
Pela hipótese
, existe escalar
tal que
De modo análogo, como
, existe escalar
tal que
Passo 3
Suponha primeiro que
. Então podemos escrever
e substituindo em
obtemos
Isso mostra que
é múltiplo escalar de
, logo
.
Passo 4
Agora suponha que
. Da expressão
segue
. Nesse caso
é o vetor nulo, e lembre que o vetor nulo é múltiplo escalar de qualquer vetor:
Portanto
é múltiplo de
, o que implica
, e por definição de paralelismo isto é equivalente a
.
Resposta
Como em ambos os casos conseguimos mostrar que um vetor é múltiplo escalar do outro, concluímos que
.