Vetores:
Determine a área do triângulo de vértices: $\mathrm{A}(1,0,-2), \mathrm{B}(0,2,0), \mathrm{C}(1,-2,2);

Passo 1

O enunciado fornece as coordenadas dos vértices do triângulo em R^3:
A=(1,0,-2), B=(0,2,0) e C=(1,-2,2).
O conteúdo é cálculo de área de triângulo em 3D usando produto vetorial e norma de vetor. Vamos precisar dos vetores que representam dois lados do triângulo e do módulo do seu produto vetorial.

Passo 2

Escolhemos os vetores
AB = B-A = (0-1,;2-0,;0-(-2)) = (-1,,2,,2),
AC = C-A = (1-1,;-2-0,;2-(-2)) = (0,,-2,,4)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial em forma de determinante:
ABtimes AC = i & j & k -1 & 2 & 2 0 & -2 & 4 = l(2cdot4 - 2cdot(-2),;-(-1cdot4 - 2cdot0),;-1cdot(-2) - 2cdot0r) = (12,,4,,2)

Passo 4

A norma do vetor resultante é
|ABtimes AC| = raiz12^2 + 4^2 + 2^2 = raiz144 + 16 + 4 = raiz164 = 2raiz41

Passo 5

A área do triângulo é metade da área do paralelogramo gerado pelos vetores, ou seja,
Área = 12 |ABtimes AC| = 12 cdot 2raiz41 = raiz41 Á

Resposta

raiz41

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