Questão 3 Considere a matriz real A dada por:
A=(ccccc 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -2 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & -3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 0 )
(a) Escreva A como produto de matrizes elementares;
(b) Calcule o determinante de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -2 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & -3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 0
e pede (a) a fatoração de A em matrizes elementares (operações de linha sobre I5) e (b) o valor de det(A).

Passo 2

Começamos com I5. Para colocar o 1 em (1,3) e o 1 em (3,1) trocamos a linha 1 com a linha 3:
E1= 0&0&1&0&0 0&1&0&0&0 1&0&0&0&0 0&0&0&1&0 0&0&0&0&1 , E1I5;rm troca;linhas;1rightarrow3

Passo 3

Para criar o -2 em (2,3) somamos -2 vezes a linha 1 à linha 2:
E2=I5+(-2)E2,1 = 1&0&0&0&0 -2&1&0&0&0 0&0&1&0&0 0&0&0&1&0 0&0&0&0&1
Agora E2E1I5 tem a segunda linha (0,1,-2,0,0).

Passo 4

Para inserir o -3 em (3,4) somamos -3 vezes a linha 4 à linha 3:
E3=I5+(-3)E3,4 = 1&0&0&0&0 0&1&0&0&0 0&0&1&-3&0 0&0&0&1&0 0&0&0&0&1
Assim E3E2E1I5 tem a terceira linha (1,0,0,-3,0).

Passo 5

Por fim, trocamos a linha 4 com a linha 5 para obter o bloco final
0&11&0 nas últimas duas linhas:
E4= 1&0&0&0&0 0&1&0&0&0 0&0&1&0&0 0&0&0&0&1 0&0&0&1&0
Então
A = E4,E3,E2,E1,I5 ;=;E4,E3,E2,E1

Passo 6

Para o determinante usamos det(AB)=det Adet B. Troca de linhas muda o sinal ( det E1=det E4=-1) e soma de múltiplo de linha não altera ( det E2=det E3=1). Logo
det(A) =det(E4),det(E3),det(E2),det(E1) =(-1)cdot1cdot1cdot(-1) =1

Resposta

boxedA = E4,E3,E2,E1, det(A)=1

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