Questão 3 Considere a matriz real
dada por:
(a) Escreva A como produto de matrizes elementares;
(b) Calcule o determinante de
A .
(b) Calcule o determinante de
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede (a) a fatoração de
A em matrizes elementares (operações de linha sobre
I5 ) e (b) o valor de
det(A) .
Passo 2
Começamos com
I5 . Para colocar o
1 em
(1,3) e o
1 em
(3,1) trocamos a linha 1 com a linha 3:
Passo 3
Para criar o
-2 em
(2,3) somamos
-2 vezes a linha 1 à linha 2:
Agora
E2E1I5 tem a segunda linha
(0,1,-2,0,0) .
Passo 4
Para inserir o
-3 em
(3,4) somamos
-3 vezes a linha 4 à linha 3:
Assim
E3E2E1I5 tem a terceira linha
(1,0,0,-3,0) .
Passo 5
Por fim, trocamos a linha 4 com a linha 5 para obter o bloco final
0&11&0 nas últimas duas linhas:
Então
Passo 6
Para o determinante usamos
det(AB)=det Adet B . Troca de linhas muda o sinal (
det E1=det E4=-1 ) e soma de múltiplo de linha não altera (
det E2=det E3=1 ). Logo