Quais dos vetores \vec{u} e \vec{v} a seguir são paralelos?
Select one or more:
□ a. \vec{u}=(6,9), \vec{v}=(12,18)
□ b. \vec{u}=(6,12), \vec{v}=(-6,-12)
□ c. \vec{u}=(9,2), \vec{v}=(3,1)
□ d. \vec{u}=(-2,-2), \vec{v}=(-3,-3)
□ e. \vec{u}=(6,-4), \vec{v}=(-9,6)

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quais dos vetores \vec{u} e \vec{v} a seguir são paralelos?”
As opções fornecem os pares de vetores (copiei os vetores do enunciado):
  • (a) \vec{u}=(6,9),\\ \vec{v}=(12,18)
  • (b) \vec{u}=(6,12),\\ \vec{v}=(-6,-12)
  • (c) \vec{u}=(9,2),\\ \vec{v}=(3,1)
  • (d) \vec{u}=(-2,-2),\\ \vec{v}=(-3,-3)
  • (e) \vec{u}=(6,-4),\\ \vec{v}=(-9,6)
O que é pedido: identificar, para cada par, se os vetores são paralelos.

Passo 2

Definição e método de verificação (aulas rápidas e práticas). Dois vetores no plano são paralelos se e somente se um é múltiplo escalar do outro. Em símbolos: existem k\in\mathbb{R} tal que
\vec{v}=k\,\vec{u}.
Em coordenadas \vec{u}=(u_1,u_2) e \vec{v}=(v_1,v_2), isso significa verificar se existe k com v_1=k\,u_1 e v_2=k\,u_2. Uma verificação prática: calcular as razões \dfrac{v_1}{u_1} e \dfrac{v_2}{u_2} (quando u_1 e u_2 não são zero) e checar se são iguais. Outra condição equivalente e muito útil em 2D é o determinante:
u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0
se e só se \vec{u} e \vec{v} são paralelos. Vou usar a verificação por múltiplo escalar (razões) e às vezes mostrar o determinante como confirmação.

Passo 3

Opção (a). Verificar se existe k tal que (12,18)=k(6,9).
Calcular as razões:
\frac{v_1}{u_1}=\frac{12}{6}=2,\qquad \frac{v_2}{u_2}=\frac{18}{9}=2.
As duas razões são iguais a 2, logo \vec{v}=2\vec{u}. Confirmação pelo determinante:
6\cdot18-9\cdot12=108-108=0.
Conclusão: os vetores da opção (a) são paralelos.

Passo 4

Opção (b). Verificar se existe k tal que (-6,-12)=k(6,12).
Calcular as razões:
\frac{v_1}{u_1}=\frac{-6}{6}=-1,\qquad \frac{v_2}{u_2}=\frac{-12}{12}=-1.
As duas razões são iguais a -1, logo \vec{v}=-1\cdot\vec{u}. Confirmação pelo determinante:
6\cdot(-12)-12\cdot(-6)=-72-(-72)=0.
Conclusão: os vetores da opção (b) são paralelos.

Passo 5

Opção (c). Verificar se existe k tal que (3,1)=k(9,2).
Calcular as razões:
\frac{v_1}{u_1}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3},\qquad \frac{v_2}{u_2}=\frac{1}{2}.
As razões são \tfrac{1}{3} e \tfrac{1}{2}, que são diferentes, portanto não existe um único k que satisfaça ambas as equalidades. Confirmação pelo determinante:
9\cdot1-2\cdot3=9-6=3\neq0.
Conclusão: os vetores da opção (c) não são paralelos.

Passo 6

Opção (d). Verificar se existe k tal que (-3,-3)=k(-2,-2).
Calcular as razões:
\frac{v_1}{u_1}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2},\qquad \frac{v_2}{u_2}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}.
As duas razões são iguais a \tfrac{3}{2}, logo \vec{v}=\tfrac{3}{2}\vec{u}. Confirmação pelo determinante:
(-2)\cdot(-3)-(-2)\cdot(-3)=6-6=0.
Conclusão: os vetores da opção (d) são paralelos.

Passo 7

Opção (e). Verificar se existe k tal que (-9,6)=k(6,-4).
Calcular k a partir da primeira componente:
k=\frac{v_1}{u_1}=\frac{-9}{6}=-\frac{3}{2}.
Verificar se a segunda componente satisfaz v_2=k u_2:
k u_2=-\frac{3}{2}\cdot(-4)=6=v_2.
As duas componentes batem com k=-\tfrac{3}{2}. Confirmação pelo determinante:
6\cdot6-(-4)\cdot(-9)=36-36=0.
Conclusão: os vetores da opção (e) são paralelos.

Resposta

a. paralelo
b. paralelo
c. não paralelo
d. paralelo
e. paralelo

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