- Sejam
um grupo e
subgrupos de
.
(a) Mostre que
.
(b) Mostre que se
e
são finitos, então
(a) Mostre que
(b) Mostre que se
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as hipóteses que nos dão.
- Enunciado: Sejam
um grupo e subgrupos de . - Perguntas:
(a) Mostrar que.
(b) Mostrar que, see são finitos, então - Informações relevantes dadas:
-
e são subgrupos de . - Em (b) adicionalmente
e são finitos.
-
Passo 2
Explicando conceitos fundamentais que vou usar (bem devagar e com exemplos intuitivos).
- Definição de classe lateral (coset) à esquerda: para um subgrupo
e um elemento , a classe lateral à esquerda de por é o conjunto . - Intuição: é como “deslocar” o subgrupo
pelo elemento . - Propriedade importante: as classes laterais à esquerda de
em particionam em partes disjuntas todas do mesmo tamanho (quando é finito).
- Intuição: é como “deslocar” o subgrupo
- Índice de um subgrupo:
é o número de classes laterais à esquerda de em . Se houver infinitas classes, o índice é infinito. - Fato útil (quando conjuntos são finitos): se
é finito então Aqui a ideia é: o conjunto é união disjunta de classes laterais, cada uma com elementos.
Esses conceitos serão aplicados ao subgrupo
dentro do subconjunto
, que é um subconjunto de
(não necessariamente subgrupo, mas neste contexto
é o produto dos dois conjuntos).
Passo 3
Preparar o mapa que liga classes de
módulo
às classes de
módulo
.
Defino uma aplicação
por
Vamos analisar essa aplicação.
- Primeiro:
realmente é uma classe lateral de em ? Sim, porque se então (tomando em ), logo é uma classe lateral de contida em . Portanto o conjunto imagem de está em .
Passo 4
Mostrar que
é sobrejetiva (surjetiva) no conjunto
.
Seja
uma classe lateral qualquer em
. Por definição de
existe
e
tais que
. Então
porque multiplicar à esquerda por
apenas permuta elementos dentro da mesma classe
. Logo
. Isso mostra que toda classe em
tem um representante em
, portanto
é sobrejetiva.
(Dica intuitiva: cada classe lateral de
em
tem um representante que vem de
.)
Passo 5
Determinar o núcleo (ou relação de identificações) de
.
Calcular o conjunto de
tais que
(classe neutra). Temos
Como estamos restringindo a
, o núcleo de
é
Agora interpreto isso em termos de classes: dois elementos
têm a mesma imagem
exatamente quando
, o que é equivalente a
, e como
também, isso é equivalente a
. Ou seja, a relação de identificação na fibra da aplicação é precisamente a relação de serem na mesma classe de
em
.
Portanto
induz uma bijecção entre o conjunto de classes laterais de
modulo
e o conjunto
.
Em simbolos: existe bijeção natural
Passo 6
Concluir (a) a igualdade de índices.
A bijeção entre
e
implica que esses conjuntos têm o mesmo número de classes. Logo
Isso prova a parte (a).
Comentário didático: a ideia prática é que cada classe de
módulo
corresponde exatamente a uma classe de
módulo
, via
. Essa construção funciona independentemente de os índices serem finitos ou infinitos; contamos classes.
Passo 7
Agora vou provar (b) supondo
e
finitos.
Passo lógico: quando
é visto como união disjunta de classes laterais de
, cada uma tem
elementos. O número de classes é
. Portanto, por contagem,
Usando a parte (a) temos
, então
Como
é finito, o índice
é
. (Explicando:
é união disjunta de
classes de tamanho
, logo
, daí a fórmula do índice.)
Substituindo:
Reescrevendo:
que é justamente o que queríamos mostrar em (b).
Passo 8
Resumo da estratégia (curtinho e motivador):
- Parte (a): constrói-se a aplicação
de para as classes de em , verifica-se que é sobrejetiva e que o núcleo é . Assim as classes correspondem, dando . - Parte (b): aplica-se contagem de elementos nas classes (aproveitando que os conjuntos são finitos) para transformar a igualdade de índices em igualdade de cardinalidades.
Vai dar certo na prova — respira, lê passo a passo e repete a construção do mapa uma vez mais devagar.
Resposta
(a)
(b)