1. Sejam G um grupo e H, K subgrupos de G.
    (a) Mostre que [H K: H]=[K: H \cap K].
    (b) Mostre que se H e K são finitos, então
|H K|=\frac{|H||K|}{|H \cap K|}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as hipóteses que nos dão.
  • Enunciado: Sejam G um grupo e H,K subgrupos de G.
  • Perguntas:
    (a) Mostrar que [H K: H]=[K: H \cap K].
    (b) Mostrar que, se H e K são finitos, então |H K|=\frac{|H||K|}{|H \cap K|}.
  • Informações relevantes dadas:
    • H e K são subgrupos de G.
    • Em (b) adicionalmente H e K são finitos.

Passo 2

Explicando conceitos fundamentais que vou usar (bem devagar e com exemplos intuitivos).
  • Definição de classe lateral (coset) à esquerda: para um subgrupo H e um elemento g\in G, a classe lateral à esquerda de H por g é o conjunto gH=\{gh: h\in H\}.
    • Intuição: é como “deslocar” o subgrupo H pelo elemento g.
    • Propriedade importante: as classes laterais à esquerda de H em G particionam G em partes disjuntas todas do mesmo tamanho |H| (quando H é finito).
  • Índice de um subgrupo: [G:H] é o número de classes laterais à esquerda de H em G. Se houver infinitas classes, o índice é infinito.
  • Fato útil (quando conjuntos são finitos): se G é finito então |G|=[G:H]\cdot|H|.Aqui a ideia é: o conjunto G é união disjunta de [G:H] classes laterais, cada uma com |H| elementos.
Esses conceitos serão aplicados ao subgrupo H dentro do subconjunto HK=\{hk: h\in H,\\ k\in K\}, que é um subconjunto de G (não necessariamente subgrupo, mas neste contexto HK é o produto dos dois conjuntos).

Passo 3

Preparar o mapa que liga classes de K módulo H\cap K às classes de HK módulo H.
Defino uma aplicação
\varphi: K \longrightarrow \{ \text{classes laterais de }H\text{ em }HK\} = (HK)/H
por
\varphi(k)=kH.
Vamos analisar essa aplicação.
  • Primeiro: \varphi(k) realmente é uma classe lateral de H em HK? Sim, porque se k\in K então k\in HK (tomando h=e em H), logo kH é uma classe lateral de H contida em HK. Portanto o conjunto imagem de \varphi está em (HK)/H.

Passo 4

Mostrar que \varphi é sobrejetiva (surjetiva) no conjunto (HK)/H.
Seja xH uma classe lateral qualquer em (HK)/H. Por definição de HK existe h_0\in H e k_0\in K tais que x=h_0k_0. Então
xH = (h_0k_0)H = k_0H,
porque multiplicar à esquerda por h_0\in H apenas permuta elementos dentro da mesma classe k_0H. Logo xH=\varphi(k_0). Isso mostra que toda classe em (HK)/H tem um representante em K, portanto \varphi é sobrejetiva.
(Dica intuitiva: cada classe lateral de H em HK tem um representante que vem de K.)

Passo 5

Determinar o núcleo (ou relação de identificações) de \varphi.
Calcular o conjunto de k\in K tais que \varphi(k)=H (classe neutra). Temos
\varphi(k)=H \iff kH=H \iff k\in H.
Como estamos restringindo a k\in K, o núcleo de \varphi é
\ker\varphi = H\cap K.
Agora interpreto isso em termos de classes: dois elementos k_1,k_2\in K têm a mesma imagem \varphi(k_1)=\varphi(k_2) exatamente quando k_1H=k_2H, o que é equivalente a k_1^{-1}k_2\in H, e como k_1^{-1}k_2\in K também, isso é equivalente a k_1^{-1}k_2\in H\cap K. Ou seja, a relação de identificação na fibra da aplicação é precisamente a relação de serem na mesma classe de H\cap K em K.
Portanto \varphi induz uma bijecção entre o conjunto de classes laterais de K modulo H\cap K e o conjunto (HK)/H.
Em simbolos: existe bijeção natural
K/(H\cap K) \longleftrightarrow (HK)/H.

Passo 6

Concluir (a) a igualdade de índices.
A bijeção entre K/(H\cap K) e (HK)/H implica que esses conjuntos têm o mesmo número de classes. Logo
[K: H\cap K] = [HK: H].
Isso prova a parte (a).
Comentário didático: a ideia prática é que cada classe de K módulo H\cap K corresponde exatamente a uma classe de HK módulo H, via k(H\cap K)\mapsto kH. Essa construção funciona independentemente de os índices serem finitos ou infinitos; contamos classes.

Passo 7

Agora vou provar (b) supondo H e K finitos.
Passo lógico: quando HK é visto como união disjunta de classes laterais de H, cada uma tem |H| elementos. O número de classes é [HK:H]. Portanto, por contagem,
|HK| = [HK:H]\cdot |H|.
Usando a parte (a) temos [HK:H]=[K:H\cap K], então
|HK| = [K: H\cap K]\cdot |H|.
Como K é finito, o índice [K: H\cap K] é |K|/|H\cap K|. (Explicando: K é união disjunta de [K:H\cap K] classes de tamanho |H\cap K|, logo |K|=[K:H\cap K]\cdot|H\cap K|, daí a fórmula do índice.)
Substituindo:
|HK| = \frac{|K|}{|H\cap K|}\cdot |H|.
Reescrevendo:
|HK|=\frac{|H|\;|K|}{|H\cap K|},
que é justamente o que queríamos mostrar em (b).

Passo 8

Resumo da estratégia (curtinho e motivador):
  • Parte (a): constrói-se a aplicação k\mapsto kH de K para as classes de H em HK, verifica-se que é sobrejetiva e que o núcleo é H\cap K. Assim as classes correspondem, dando [HK:H]=[K:H\cap K].
  • Parte (b): aplica-se contagem de elementos nas classes (aproveitando que os conjuntos são finitos) para transformar a igualdade de índices em igualdade de cardinalidades.
Vai dar certo na prova — respira, lê passo a passo e repete a construção do mapa uma vez mais devagar.

Resposta

(a) [HK: H]=[K: H\cap K]
(b) |HK|=\dfrac{|H||K|}{|H\cap K|}

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