Vibrações <br> Lista de Exercícios 05

  1. Considere um sistema massa-mola excitado por uma força harmônica F(t)=F0 cos (omega t). Se o sistema tem massa m e constante elástica k, então determine as condições iniciais para que a resposta desse sistema oscile somente na frequência omega.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema massa-mola (massa m, mola com constante elástica k) sujeito a uma força harmônica
F(t)=F0cos(omega t),
A parada é encontrar quais condições iniciais (posição e velocidade em t=0) fazem com que a resposta do sistema oscile na frequência da força, isto é, não tenha a parte transiente na frequência natural omega0=raizk/m.
Conteúdo: equações diferenciais de 2º ordem para vibrações forçadas, solução geral = homogênea + particular. Vamos precisar montar a equação, achar as soluções e escolher condições iniciais que anulem a parte homogênea.

Passo 2

Escrevendo a EDO do movimento:
m,x''(t)+k,x(t)=F0cos(omega t),
A solução geral dessa equação é a soma de:
1) Solução homogênea (livre, sem Força):
xh(t)=Acos(omega0t)+Bsin(omega0t), omega0=raiztfrackm,
  1. Solução particular (forçada, na frequência omega): vamos achar um xp(t).

Passo 3

Para a parte particular, tentamos
xp(t)=Ccos(omega t),
Derivando:
xp''(t)=-omega^2 Ccos(omega t),
Substituindo na equação:
m(-omega^2 Ccosomega t)+k(Ccosomega t)=F0cosomega t;;Longrightarrow;;(k-momega^2),C=F0,
Logo
C=F0,k-momega^2,,,
então
boxedxp(t)=F0,k-momega^2,,cos(omega t),

Passo 4

A solução geral é
x(t)=xh(t)+xp(t)=Acos(omega0 t)+Bsin(omega0 t)+F0,k-momega^2,cos(omega t),
Para não termos a oscilação livre (a parte com A e B), precisamos escolher as condições iniciais de modo que A=0 e B=0.
Em t=0:
  1. Posição inicial x(0): x(0)=Acos0 +Bsin0 +F0k-momega^2cos0 = A + 0 + F0k-momega^2,
    Pra anular a parte livre, queremos A=0, então basta ter
    x(0)=F0,k-momega^2,,
  2. Velocidade inicial x'(0): x'(t)=-Aomega0sin(omega0 t)+Bomega0cos(omega0 t)-F0,omegak-momega^2sin(omega t),
    Em t=0:
    x'(0)=0 + B,omega0 - 0 = B,omega0, Pra anular B, precisamos x'(0)=0,

Passo 5

Resumindo, para garantir que a resposta oscile na frequência da força (e não tenha transiente):
  • x(0) deve ser exatamente o valor da parte particular em t=0, isto é x(0)=F0,k-momega^2,,,
    - x′(0) deve ser igual à derivada da parte particular em t=0, que é zero, então
    x'(0)=0,

Resposta

As condições iniciais são
boxedx(0)=F0,k-momega^2,e x'(0)=0,

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