Suponha que foi obtido um modelo linear local para um processo de recozimento de tubos sem costura na empresa Usiminas, em Ipatinga/MG, representado por:
Sem calcular numericamente raízes de polinômios, responda: O processo é naturalmente BIBO estável? Ou há necessidade de se usar um sistema de controle automático em malha fechada para estabilizá-lo? Responda justificando sua resposta com uma análise teórica de qualidade e aprofundamento compatíveis com o que se espera de um(a) Engenheiro(a) formado(a) na UFMG.
Passo 1
Beleza, então o enunciado nos dá a função de transferência do processo de recozimento:
A pergunta é: esse sistema, visto em malha aberta, já é BIBO estável (ou seja, responde sem explodir para um sinal de entrada limitadinho)? Ou a gente precisa de um controlador em malha fechada pra deixar ele estável?
Conteúdo: teoria de estabilidade de sistemas lineares, mais especificamente o critério de Routh–Hurwitz pra verificar se todos os polos (raízes do denominador) têm parte real negativa sem ficar calculando raiz por raiz.
Conteúdo: teoria de estabilidade de sistemas lineares, mais especificamente o critério de Routh–Hurwitz pra verificar se todos os polos (raízes do denominador) têm parte real negativa sem ficar calculando raiz por raiz.
Passo 2
Teoria rapidinha: um sistema linear é BIBO estável se, e somente se, todos os polos da sua função de transferência tiverem parte real negativa. Nosso polo vem do denominar
Em vez de encontrar raízes numericamente (o que é chato pra 5º grau), a gente monta a tabela de Routh. Se na primeira coluna da tabela não aparecer troca de sinal, tá tudo no lado esquerdo do plano
(parte real negativa) e o sistema é estável. Se houver trocas de sinal, tem polo em
, ou seja, instabilidade.
Passo 3
Montei a tabela de Routh–Hurwitz para
:
s⁵ | 1 2 2
s⁴ | 1 1 4
s³ |
0
s² |
s¹ | 0
s⁰ | 4
s⁴ | 1 1 4
s³ |
s² |
s¹ |
s⁰ | 4
Ou seja, a primeira coluna é:
1, 1, 1, 3, , 4.
1, 1, 1, 3,
Passo 4
Agora conta as trocas de sinal nessa coluna:
1 → 1 (sem troca),
1 → 1 (sem troca),
1 → 3 (sem troca),
3 → −10/3 (troca 1),
−10/3 → 4 (troca 2).
Total: 2 trocas de sinal ⇒ 2 polos com parte real positiva ⇒ sistema instável em malha aberta.
1 → 1 (sem troca),
1 → 1 (sem troca),
1 → 3 (sem troca),
3 → −10/3 (troca 1),
−10/3 → 4 (troca 2).
Total: 2 trocas de sinal ⇒ 2 polos com parte real positiva ⇒ sistema instável em malha aberta.
Resposta
O processo não é naturalmente BIBO estável (tem polos no semiplano direito). Logo, para garantir estabilidade de forma automática, é necessário usar um sistema de controle em malha fechada.