7.3. Se a viga de abas largas for submetida a um cisalhamento V=30 \mathrm{kN}, determine a força de cisalhamento à qual a alma da viga resiste. Considere w=200 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações fornecidas (peguei as dimensões da figura):
  • O enunciado pede: determinar a força de cisalhamento que a alma (web) da viga resiste quando a viga é submetida a um cisalhamento total V=30\\ \mathrm{kN}.
  • Informações dadas / extraídas da figura:
    • V=30\\ \mathrm{kN}.
    • largura da aba (flange): w=200\\ \mathrm{mm}.
    • espessura da aba (flange): t_f=30\\ \mathrm{mm}.
    • altura livre da alma (web): h_w=250\\ \mathrm{mm} (distância entre as abas).
    • espessura da alma (web): t_w=25\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Plano de ataque (sem ainda calcular): vou usar a ideia de fluxo de cisalhamento (shear flow) para determinar quanto do cisalhamento total V é transmitido entre a aba e a alma. A fórmula fundamental que vou usar é a fórmula do cisalhamento em vigas para fluxo de cisalhamento:
q=\frac{V\,Q}{I}
onde:
  • q é o fluxo de cisalhamento na seção (unidade: \mathrm{N/mm}); é a força de cisalhamento por unidade de largura ao longo da interface flange–web;
  • V é o esforço cortante total aplicado à seção (unidade: \mathrm{N});
  • Q é o primeiro momento de área da porção da seção situada acima (ou abaixo) da linha onde se calcula q (unidade: \mathrm{mm^3});
  • I é o momento de inércia da seção inteira em torno do eixo neutro (unidade: \mathrm{mm^4}).
A força total que a alma tem de resistir (isto é, a força transmitida da aba para a alma ao longo da largura w) é:
F_{\text{alma}} = q \cdot w.
Então o caminho será:
  1. encontrar a posição do eixo neutro e as dimensões relevantes;
  2. calcular Q para a aba (a porção superior cuja força deve ser transferida para a alma);
  3. calcular I da seção composta (alma + 2 abas) usando o teorema dos eixos paralelos;
  4. calcular q = VQ/I e então F_{\text{alma}} = q w.
Vou explicar e calcular cada passo com calma.

Passo 3

Geometria e eixo neutro (centro geométrico) — determinação das posições numéricas:
  • Espessura da aba: t_f=30\\ \mathrm{mm}.
  • Altura da alma: h_w=250\\ \mathrm{mm}.
  • Profundidade total da seção (distância entre faces externas das abas):
D = h_w + 2t_f = 250 + 2\cdot30 = 310\\ \mathrm{mm}.
  • Como a seção é simétrica verticalmente, o eixo neutro está no meio da profundidade total, a uma distância
\frac{D}{2}=155\\ \mathrm{mm}
a partir da face superior. A distância do eixo neutro até o centróide de uma das abas (por exemplo, a aba superior) é
y = \frac{D}{2} - \frac{t_f}{2} = 155 - 15 = 140\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Área da aba e primeiro momento Q da aba (porção acima da junção com a alma):
  • Área de uma aba:
A_f = w\,t_f = 200\cdot30 = 6000\\ \mathrm{mm^2}.
  • O primeiro momento de área Q para a aba (quando o corte está na junção aba–alma) é a área da aba multiplicada pela distância do eixo neutro até o centróide da aba:
Q = A_f \, y = 6000\cdot140 = 840\,000\\ \mathrm{mm^3}.
Explicação didática rápida de Q: Q mede “quanto” de área existe acima do nível considerado e quão longe está essa área do eixo neutro; por isso se calcula A vezes a distância do centróide dessa área ao eixo neutro.

Passo 5

Calcular o momento de inércia I da seção completa (alma + 2 abas) em torno do eixo neutro:
Vamos somar as contribuições:
  1. Alma (retângulo vertical de espessura t_w e altura h_w):
I_{\text{alma,centro}} = \frac{1}{12}\,t_w\,h_w^3 =\frac{1}{12}\cdot25\cdot250^3.
Calcule passo a passo:
250^3=15\,625\,000,
25\cdot15\,625\,000=390\,625\,000,
I_{\text{alma,centro}}=\frac{390\,625\,000}{12}=32\,552\,083{,}33\\ \mathrm{mm^4}.
  1. Cada aba (retângulo de largura w e espessura t_f): momento de inércia em seu próprio centróide (eixo paralelo) mais a correção pelo teorema dos eixos paralelos:
Momento de inércia da aba em torno do seu centróide (eixo horizontal que passa pelo meio da espessura):
I_{f,\text{centro}}=\frac{1}{12}\,w\,t_f^3=\frac{1}{12}\cdot200\cdot30^3.
30^3=27\,000,\quad 200\cdot27\,000=5\,400\,000,
I_{f,\text{centro}}=\frac{5\,400\,000}{12}=450\,000\\ \mathrm{mm^4}.
Termo de transferência (área vezes deslocamento ao quadrado):
A_f y^2 = 6000\cdot140^2 = 6000\cdot19\,600 = 117\,600\,000\\ \mathrm{mm^4}.
Portanto a contribuição de uma aba ao I em relação ao eixo neutro é
I_f = I_{f,\text{centro}} + A_f y^2 = 450\,000 + 117\,600\,000 = 118\,050\,000\\ \mathrm{mm^4}.
Como há duas abas, soma-se o dobro.
  1. Somando tudo:
I = I_{\text{alma,centro}} + 2 I_f =32\,552\,083{,}33 + 2\cdot118\,050\,000 =32\,552\,083{,}33 + 236\,100\,000 =268\,652\,083{,}33\\ \mathrm{mm^4}.
Resumo numérico:
I \approx 2{,}6865\times10^{8}\\ \mathrm{mm^4}.

Passo 6

Calcular o fluxo de cisalhamento q na interface aba–alma:
Usando a fórmula
q=\frac{V\,Q}{I}.
  • Converter V para newtons: V=30\\ \mathrm{kN}=30\,000\\ \mathrm{N}.
  • Substituindo os valores numéricos:
q=\frac{30\,000\cdot840\,000}{268\,652\,083{,}33} =\frac{25\,200\,000\,000}{268\,652\,083{,}33} \approx 93{,}83\\ \mathrm{N/mm}.
Interpretação: q significa que, ao longo de cada milímetro da largura da interface, há cerca de 93{,}83\\ \mathrm{N} de força de cisalhamento sendo transmitida entre a aba e a alma.

Passo 7

Força total transmitida (e, portanto, resistida) pela alma:
Multiplica-se o fluxo q pela largura w para obter a força total:
F_{\text{alma}} = q \cdot w = 93{,}83\cdot200 \approx 18\,766\\ \mathrm{N}.
Convertendo para kN:
F_{\text{alma}}\approx 18{,}77\\ \mathrm{kN}.
Comentário útil: o restante do cisalhamento total fica nas abas (força remanescente V-F_{\text{alma}} \approx 30{,}00-18{,}77 = 11{,}23\\ \mathrm{kN}). Como a seção é simétrica, cada aba suportaria aproximadamente metade disso ( \approx5{,}62\\ \mathrm{kN} cada), mas o que nos foi pedido era apenas a força resistida pela alma.

Resposta

F_{\text{alma}} \approx 18{,}77\\ \mathrm{kN}

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