7.2. Se a viga de abas largas for submetida a um cisalhamento V=30 \mathrm{kN}, determine a tensão de cisalhamento máxima na viga. Considere w=200 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a tensão de cisalhamento máxima na viga quando aplicada a força cortante V=30\\ \text{kN}.
Informações relevantes fornecidas (peguei estas medidas da imagem e do enunciado):
  • Força cortante: V=30\\ \text{kN}.
  • Largura das abas (flanges): b=200\\ \text{mm} (o enunciado disse “considere w=200\\ \text{mm}” e a imagem mostra 200\\ \text{mm} na aba superior).
  • Espessura das abas: t_f=30\\ \text{mm} (peguei da imagem).
  • Espessura do alma (web): t_w=25\\ \text{mm} (peguei da imagem).
  • Altura do alma entre as abas: h=250\\ \text{mm} (peguei da imagem).
O que vou calcular: a tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max} na seção transversal da viga.

Passo 2

Estratégia e fórmula que vamos usar (aula curta e prática). Para cisalhamento cortante em uma seção transversal não uniforme usa-se a fórmula
\tau=\frac{V\,Q}{I\,t},
onde:
  • V é a força cortante resultante (aqui 30\\ \text{kN});
  • Q é o primeiro momento de área da parcela da seção, tomada em relação ao eixo neutro até a fibra onde se quer a tensão (unidade \text{mm}^3);
  • I é o momento de inércia da seção inteira em relação ao eixo neutro horizontal (unidade \text{mm}^4);
  • t é a espessura ao longo da qual a tensão de cisalhamento atua naquele ponto (para o corpo do alma usa-se t=t_w).
Explicação conceitual curta: a maior tensão de cisalhamento em uma viga em I normalmente ocorre no centro da alma, no plano neutro, porque ali o fluxo de cisalhamento tem maior Q relativo à pequena espessura t_w. Por isso vamos calcular \tau no eixo neutro, na alma.

Passo 3

Determinar dimensões e áreas básicas (contas fáceis, explico cada variável):
  • Profundidade total da seção (distância entre superfícies externas das abas):
D = h + 2t_f = 250 + 2\cdot 30 = 310\\ \text{mm}.
  • Área de uma aba:
A_f = b\cdot t_f = 200\cdot 30 = 6000\\ \text{mm}^2.
  • Área total da alma:
A_w = t_w\cdot h = 25\cdot 250 = 6250\\ \text{mm}^2.
Observação: o eixo neutro fica no centro por simetria vertical da seção, ou seja a 0 mm do centro.

Passo 4

Calcular o momento de inércia I da seção em relação ao eixo neutro (passo a passo).
Dividimos a seção em 3 retângulos: duas abas (superior e inferior) e a alma.
Para cada aba (retângulo b\times t_f), momento de inércia em torno de seu próprio centro (eixo horizontal pelo centro da aba):
I_{\text{cent,aba}}=\frac{b\,t_f^3}{12}=\frac{200\cdot 30^3}{12}.
Calculemos:
30^3=27\,000,\qquad 200\cdot 27\,000=5\,400\,000,
I_{\text{cent,aba}}=\frac{5\,400\,000}{12}=450\,000\\ \text{mm}^4.
Deslocamento do centro da aba ao eixo neutro (distância vertical):
d=\frac{D}{2}-\frac{t_f}{2}=155-15=140\\ \text{mm}.
Aplicando o teorema dos eixos paralelos para cada aba:
I_{\text{aba}}=I_{\text{cent,aba}}+A_f d^2 = 450\,000 + 6000\cdot 140^2.
Calcule:
140^2=19\,600,\qquad 6000\cdot 19\,600=117\,600\,000,
I_{\text{aba}}=450\,000+117\,600\,000=118\,050\,000\\ \text{mm}^4.
Como há duas abas:
I_{\text{abas,tot}}=2\cdot 118\,050\,000 = 236\,100\,000\\ \text{mm}^4.
Agora o momento de inércia da alma (retângulo de largura t_w e altura h), cujo centro coincide com o eixo neutro, portanto sem termo de paralela:
I_{\text{alma}}=\frac{t_w\,h^3}{12}=\frac{25\cdot 250^3}{12}.
Calcule:
250^3=15\,625\,000,\qquad 25\cdot 15\,625\,000=390\,625\,000,
I_{\text{alma}}=\frac{390\,625\,000}{12}=32\,552\,083{,}33\\ \text{mm}^4.
Somando tudo:
I = I_{\text{abas,tot}} + I_{\text{alma}} = 236\,100\,000 + 32\,552\,083{,}33 = 268\,652\,083{,}33\\ \text{mm}^4.

Passo 5

Calcular o primeiro momento de área Q para o ponto no eixo neutro (vamos tomar a parte acima do eixo neutro).
Definição prática: Q = área acima do eixo neutro multiplicada pelo seu braço até o eixo neutro (primeiro momento). A área acima do eixo neutro é a aba superior inteira mais metade da alma (porque dividimos a alma em duas metades simétricas).
  • Área da metade superior da alma:
A_{w/2}=t_w\cdot\frac{h}{2}=25\cdot 125=3125\\ \text{mm}^2.
  • Braços (distâncias dos centróides dessas áreas ao eixo neutro):
    • centróide da aba superior: y_f=140\\ \text{mm} (já calculado);
    • centróide da metade superior da alma: como essa metade tem altura 125\\ \text{mm}, seu centróide está a 125/2=62{,}5\\ \text{mm} do eixo neutro.
Logo
Q = A_f\cdot y_f + A_{w/2}\cdot y_{w/2} = 6000\cdot 140 + 3125\cdot 62{,}5.
Calcule:
6000\cdot 140 = 840\,000,
3125\cdot 62{,}5 = 195\,312{,}5,
Q = 840\,000 + 195\,312{,}5 = 1\,035\,312{,}5\\ \text{mm}^3.

Passo 6

Aplicar a fórmula de cisalhamento no eixo neutro da alma (espessura t=t_w). Converter V para N:
V=30\\ \text{kN}=30\,000\\ \text{N}.
A fórmula:
\tau_{\max}=\frac{V\,Q}{I\,t_w}.
Substituindo números:
\tau_{\max}=\frac{30\,000\cdot 1\,035\,312{,}5}{268\,652\,083{,}33\cdot 25}.
Calcule passo a passo:
\text{denominador}=268\,652\,083{,}33\cdot 25 = 6\,716\,302\,083{,}25,
\text{numerador}=30\,000\cdot 1\,035\,312{,}5 = 31\,059\,375\,000,
\tau_{\max}=\frac{31\,059\,375\,000}{6\,716\,302\,083{,}25}=4{,}626029\\ \text{N/mm}^2.
Convertendo para \text{MPa} (1 N/mm ^2 = 1 MPa):
\tau_{\max}\approx 4{,}63\\ \text{MPa}.

Passo 7

Interpretação final e nota prática: essa tensão máxima de cisalhamento ( \approx 4{,}63\\ \text{MPa}) ocorre na alma, no plano do eixo neutro. As abas, por serem mais espessas e largas, suportam menor tensão de cisalhamento localmente. Se na prova pedirem comparação com limite de cedência em cisalhamento, usar esse valor como referência.

Resposta

\tau_{\max}=4{,}63\\ \text{MPa}

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