7.1. Se a viga for submetida a um cisalhamento V=15 \mathrm{kN}, determine a tensão de cisalhamento na alma em A e B. Indique as componentes da tensão de cisalhamento sobre um elemento de volume localizado nesses pontos. Considere w=125 \mathrm{~mm}. Mostre que o eixo neutro está localizado em \bar{y}=0,1747 \mathrm{~m} em relação à parte inferior e I_{N A}=0,2182\left(10^{-3}\right) \mathrm{m}^{4}.

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado (peguei estes valores da figura):
  • Pede: determinar a tensão de cisalhamento na alma nos pontos A e B quando a viga é submetida a um esforço cortante vertical V=15\\ \mathrm{kN}. Indicar as componentes da tensão de cisalhamento sobre um elemento em cada ponto.
  • Dados geométricos (extraídos da imagem):
    • Largura da mesa superior: 200\\ \mathrm{mm}.
    • Espessura das mesas (superior e inferior): 30\\ \mathrm{mm}.
    • Altura da alma (entre as mesas): 250\\ \mathrm{mm}.
    • Espessura da alma: 25\\ \mathrm{mm}.
    • Largura da mesa inferior: w=125\\ \mathrm{mm}.
  • Também é solicitado mostrar que o eixo neutro está em \bar{y}=0,1747\\ \mathrm{m} (medido a partir da parte inferior) e que I_{NA}=0,2182\left(10^{-3}\right)\\ \mathrm{m}^{4}. Vamos calcular e usar esses valores no cálculo das tensões.
  • Observação sobre os pontos A e B: são pontos na alma logo junto às junções com a mesa superior (A) e com a mesa inferior (B). Para a fórmula de tensão de cisalhamento na alma usaremos cortes imediatamente nesses níveis (área acima do corte conforme explicado adiante).

Passo 2

Fórmula e ideia física (aula rápida e prática)
  • A tensão de cisalhamento longitudinal (a que aparece na alma de vigas submetidas a esforço cortante) é dada pela fórmula clássica:
\tau=\dfrac{V\,Q}{I\,t},
onde:
  • V é o esforço cortante resultante (aqui V=15\\ \mathrm{kN}=15000\\ \mathrm{N});
  • Q é o primeiro momento de área da porção da seção que fica de um lado do plano de corte, medido em relação ao eixo neutro (unidade \mathrm{m}^3). Na prática, para um corte numa posição vertical dada, Q=\displaystyle\sum A_i\,(y_{i}-\bar{y}), onde A_i é a área de cada peça que fica “de um lado” do corte e y_i é a posição do seu centróide medida a partir da referência (aqui usaremos a base inferior), e \bar{y} é a coordenada do eixo neutro.
  • I é o momento de inércia da seção completa em relação ao eixo neutro (unidade \mathrm{m}^4).
  • t é a espessura na direção do fluxo de cisalhamento no local do corte (para a alma, t é a espessura da alma: 25\\ \mathrm{mm}=0,025\\ \mathrm{m}).
  • Observação prática sobre Q: calcule o primeiro momento somando as contribuições das áreas que ficam acima (ou abaixo) do plano de corte. Se alguma contribuição estiver abaixo do eixo neutro, sua distância ao eixo neutro será negativa — é normal e entra no somatório algébrico; no final usa-se o valor absoluto de \tau para magnitude da tensão.

Passo 3

Cálculo da coordenada do eixo neutro \bar{y} (mostrando que \bar{y}=0,1747\\ \mathrm{m})
  • Definir eixo y medido a partir da face inferior da viga (base inferior = y=0).
  • Áreas das partes (em metros quadrados):
    • Mesa superior: A_1 = 200\\ \mathrm{mm}\times30\\ \mathrm{mm}=6000\\ \mathrm{mm}^2 = 6{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
    • Alma: A_2 = 25\\ \mathrm{mm}\times250\\ \mathrm{mm}=6250\\ \mathrm{mm}^2 = 6{,}25\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
    • Mesa inferior: A_3 = w\times30\\ \mathrm{mm}=125\\ \mathrm{mm}\times30\\ \mathrm{mm}=3750\\ \mathrm{mm}^2 = 3{,}75\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
  • Coordenadas (centróides) medidas desde a base inferior:
    • Mesa inferior (espessura 30\\ \mathrm{mm}): y_3=15\\ \mathrm{mm}=0{,}015\\ \mathrm{m}.
    • Alma (altura 250\\ \mathrm{mm} acima da mesa inferior): centróide em y_2=30\\ \mathrm{mm}+125\\ \mathrm{mm}=155\\ \mathrm{mm}=0{,}155\\ \mathrm{m}.
    • Mesa superior (no topo): y_1=30+250+15=295\\ \mathrm{mm}=0{,}295\\ \mathrm{m}.
  • Fórmula da posição do eixo neutro:
\bar{y}=\dfrac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}=\dfrac{A_1 y_1 + A_2 y_2 + A_3 y_3}{A_1+A_2+A_3}.
  • Substituindo:
\bar{y}=\dfrac{(6{,}0\times10^{-3})(0{,}295)+(6{,}25\times10^{-3})(0{,}155)+(3{,}75\times10^{-3})(0{,}015)}{6{,}0\times10^{-3}+6{,}25\times10^{-3}+3{,}75\times10^{-3}}.
  • Calculando numericamente:
    • Numerador =0{,}00177+0{,}00096875+0{,}00005625=0{,}002795\\ \mathrm{m}^3.
    • Denominador =0{,}016\\ \mathrm{m}^2.
\bar{y}=\dfrac{0{,}002795}{0{,}016}=0{,}1746875\\ \mathrm{m}\approx0{,}1747\\ \mathrm{m}.
Portanto, mostra-se que \bar{y}=0{,}1747\\ \mathrm{m} a partir da parte inferior (confere com o enunciado).

Passo 4

Cálculo do momento de inércia I_{NA} (mostrando que I_{NA}=0,2182(10^{-3})\\ \mathrm{m}^4)
  • Método: somar os momentos de inércia centroidais de cada retângulo e aplicar o teorema dos eixos paralelos quando necessário.
  • Fórmulas úteis:
    • Para um retângulo de base b (na direção horizontal) e altura h (na direção vertical), o momento de inércia em relação ao eixo horizontal que passa pelo seu centróide é I_c=\dfrac{b\,h^3}{12}.
    • Aplicar I=I_c + A d^2, onde d é a distância entre o centróide da peça e o eixo neutro.
  • Cálculos (tudo em SI):
    • Mesa superior ( b=0{,}200\\ \mathrm{m},\\ h=0{,}030\\ \mathrm{m}): I_{1c}=\dfrac{0{,}200\,(0{,}030)^3}{12}=4{,}50\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4, d_1=y_1-\bar{y}=0{,}295-0{,}1746875=0{,}1203125\\ \mathrm{m}, I_1=I_{1c}+A_1 d_1^2=4{,}50\times10^{-7}+(6{,}0\times10^{-3})(0{,}1203125)^2=8{,}7299\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^4.
    • Alma ( b=0{,}025\\ \mathrm{m},\\ h=0{,}250\\ \mathrm{m}): I_{2c}=\dfrac{0{,}025\,(0{,}250)^3}{12}=3{,}2552\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^4, d_2=y_2-\bar{y}=0{,}155-0{,}1746875=-0{,}0196875\\ \mathrm{m}, I_2=I_{2c}+A_2 d_2^2=3{,}2552\times10^{-5}+(6{,}25\times10^{-3})(-0{,}0196875)^2=3{,}4975\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^4.
    • Mesa inferior ( b=0{,}125\\ \mathrm{m},\\ h=0{,}030\\ \mathrm{m}): I_{3c}=\dfrac{0{,}125\,(0{,}030)^3}{12}=2{,}8125\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4, d_3=y_3-\bar{y}=0{,}015-0{,}1746875=-0{,}1596875\\ \mathrm{m}, I_3=I_{3c}+A_3 d_3^2=2{,}8125\times10^{-7}+(3{,}75\times10^{-3})(-0{,}1596875)^2=9{,}5951\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^4.
  • Somando:
I_{NA}=I_1+I_2+I_3=8{,}7299\times10^{-5}+3{,}4975\times10^{-5}+9{,}5951\times10^{-5}=2{,}18221\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^4.
Escrevendo no formato pedido:
I_{NA}=0{,}2182\left(10^{-3}\right)\\ \mathrm{m}^4,
o que confirma o valor fornecido no enunciado.

Passo 5

Cálculo de Q e de \tau no ponto A (junção alma / mesa superior)
  • Definição do corte para A: cortar a seção imediatamente abaixo da mesa superior, de modo que a porção “acima do corte” é apenas a mesa superior (a alma acima desse corte é desprezível se o corte estiver exatamente na junção). Peguei a dimensão da mesa superior (200 mm × 30 mm) da imagem.
  • Área da mesa superior: A_1=6{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
  • Distância do centróide da mesa superior até o eixo neutro:
y_1-\bar{y}=0{,}295-0{,}1746875=0{,}1203125\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro momento para o corte em A:
Q_A=A_1\,(y_1-\bar{y})=(6{,}0\times10^{-3})(0{,}1203125)=7{,}21875\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
(Arredondando, Q_A=7{,}218\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.)

Passo 6

Tensão de cisalhamento em A
  • Usando \tau=\dfrac{VQ}{I t} com V=15000\\ \mathrm{N}, Q_A=7{,}21875\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3, I_{NA}=2{,}18221\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^4 e t=0{,}025\\ \mathrm{m}:
\tau_A=\dfrac{15000\cdot(7{,}21875\times10^{-4})}{(2{,}18221\times10^{-4})\cdot0{,}025}.
  • Calculando:
    • Numerador =15000\cdot7{,}21875\times10^{-4}=10{,}8281.
    • Denominador =(2{,}18221\times10^{-4})\cdot0{,}025=5{,}4555\times10^{-6}.
\tau_A=\dfrac{10{,}8281}{5{,}4555\times10^{-6}} \approx 1{,}985\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=1{,}985\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando de forma prática: \tau_A\approx1{,}99\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Cálculo de Q e de \tau no ponto B (junção alma / mesa inferior)
  • Definição do corte para B: cortar imediatamente acima da mesa inferior; a porção “acima do corte” inclui a mesa superior inteira e toda a alma (ainda não inclui a mesa inferior). Portanto:
Q_B = A_1(y_1-\bar{y}) + A_2(y_2-\bar{y}).
  • Valores já conhecidos:
    • A_1(y_1-\bar{y})=7{,}21875\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
    • Para a alma: A_2=6{,}25\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2, y_2-\bar{y}=0{,}155-0{,}1746875=-0{,}0196875\\ \mathrm{m}.
    • Contribuição da alma: A_2(y_2-\bar{y})=(6{,}25\times10^{-3})(-0{,}0196875)=-1{,}23125\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
  • Somando:
Q_B=7{,}21875\times10^{-4} - 1{,}23125\times10^{-4}=5{,}986\!75\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
(Arredondando, Q_B=5{,}987\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.)

Passo 8

Tensão de cisalhamento em B
  • Usando a mesma fórmula com Q_B:
\tau_B=\dfrac{15000\cdot(5{,}98675\times10^{-4})}{(2{,}18221\times10^{-4})\cdot0{,}025}.
  • Calculando:
    • Numerador =15000\cdot5{,}98675\times10^{-4}=8{,}980125.
    • Denominador igual a 5{,}4555\times10^{-6}.
\tau_B=\dfrac{8{,}980125}{5{,}4555\times10^{-6}}\approx1{,}647\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=1{,}647\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando de forma prática: \tau_B\approx1{,}65\\ \mathrm{MPa}.

Passo 9

Componentes da tensão de cisalhamento num elemento localizado em A e em B
  • Convenção de eixos: x direção longitudinal (comprimento da viga), y direção vertical (altura da seção), z atravessa a espessura da alma.
  • A tensão calculada é a tensão de cisalhamento longitudinal na alma, portanto o componente não nulo (predominante) é \tau_{xy} (e, por igualdade das componentes de tensão de cisalhamento, \tau_{yx}=\tau_{xy} no elemento). Outros componentes de cisalhamento ( \tau_{xz},\tau_{zx}) são desprezíveis na alma para este carregamento simples.
  • Assim, nos pontos:
    • Em A: \tau_{xy}\approx 1{,}99\\ \mathrm{MPa}.
    • Em B: \tau_{xy}\approx 1{,}65\\ \mathrm{MPa}.
  • Observação didática: a tensão de cisalhamento varia ao longo da altura da alma e normalmente atinge valor máximo próximo ao eixo neutro; nos cortes junto às mesas os valores são menores que o máximo que ocorreria exatamente no NA interno da alma. Aqui calculamos os valores nos níveis pedidos (junto às junções).

Resposta

\tau_A\approx1{,}99\\ \mathrm{MPa}
\tau_B\approx1{,}65\\ \mathrm{MPa}
Componentes não nulas no elemento: \tau_{xy}=\tau_{yx} (valores acima).

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