Uma viga de concreto armado tem área de seção transversal retangular de 35 cm
com 3 barras de aço na parte inferior de bitola 10 mm distando 3 cm do seu centro ao fundo da viga. Se ela for submetida a um momento fletor
, qual será a tensão normal em cada barra de aço e a tensão normal máxima no concreto? Adote
e
.
Passo 1
O enunciado dá uma viga com seção retangular e armadura na face inferior e pede duas coisas:
- Qual a tensão normal em cada barra de aço (cada barra de bitola
) quando a viga é submetida ao momento fletor . - Qual a tensão normal máxima no concreto.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
- largura da seção:
. - altura da seção:
. - três barras de aço, bitola
diâmetro . - distância do centro da barra ao fundo (face inferior) da viga:
. (Logo as barras estão a da face inferior.) - momento aplicado:
. - módulos de elasticidade:
e .
O que será necessário encontrar e usar:
- área do concreto e das barras; posição do eixo neutro da seção composta (usar método da seção transformada porque
do aço do concreto); - momento de inércia transformado da seção em relação ao eixo neutro;
- curvatura e as tensões a partir da lei da flexão linearizante (tensão proporcional à distância ao eixo neutro e ao módulo do material).
Passo 2
Calcular áreas e posições (tudo em SI: metros, metros quadrados).
Área da seção de concreto:
Área de cada barra de aço (círculo de diâmetro
):
Área total das
barras:
Fator de transformação (transformar aço em equivalente concreto):
Área equivalente das barras em termos de concreto:
Posições dos centróides (medidas a partir da face inferior, para facilitar):
- centróide do retângulo de concreto:
- centróide conjunto das barras (todas na mesma altura):
Centroide da seção transformada (em termos de concreto):
Calcular numerador e denominador:
Logo
Interpretação: o eixo neutro fica a
acima da face inferior (ligeiramente abaixo do centro geométrico
, devido à presença do aço mais rígido na região inferior).
Passo 3
Calcular momento de inércia transformado da seção em relação ao eixo neutro
.
Momento de inércia da placa de concreto em torno de seu próprio centróide (fórmula para retângulo sobre eixo horizontal central):
Distância entre o centróide do concreto e o eixo neutro:
Aplicando o teorema dos eixos paralelos (trasladar
para o eixo neutro):
Momentos das barras (transformadas em concreto) — tratar cada barra como área concentrada em sua distância ao eixo neutro (a contribuição de inércia própria das barras é desprezível frente à sua distância):
Distância das barras ao eixo neutro:
Distância das barras ao eixo neutro:
Momento de inércia equivalente das barras:
Momento de inércia total transformado:
Passo 4
Calcular curvatura e tensões usando as relações da flexão linear para seção transformada.
A curvatura
é dada por:
Explicação: na seção transformada usou-se o concreto como referência; a soma dos momentos internos é
, igual ao momento aplicado
. Aqui
tem unidade
.
Calcular
:
Tensão no concreto a uma distância
(a partir da face inferior) é
Mas, note que
. Assim uma forma prática:
(Esta expressão dá a tensão no concreto no ponto
.)
Tensão no aço em
é
Ou usando
,
Passo 5
Calcular a tensão em cada barra de aço (valor numérico).
Distância do ponto da barra ao eixo neutro:
Fator
:
Tensão no concreto à altura da barra (intermediária, para referência):
Sinal negativo indica que, com a convenção adotada, essa fibra do concreto estaria comprimida; em termos práticos, o módulo da tensão é
.
Tensão no aço (cada barra):
Interpretação prática: magnitude
. Se o momento aplicado for do tipo que provoca tração na face inferior (flexão fletora sagging usual), então essas barras estarão em tração de aproximadamente
. O sinal negativo vem apenas da escolha da direção do eixo e da fórmula; o que interessa para o projeto é o módulo e se é tração ou compressão — no caso de momento sagging, será tração.
Passo 6
Calcular a tensão normal máxima no concreto.
A tensão máxima no concreto ocorrerá na fibra mais afastada do eixo neutro (ou seja, na face superior ou inferior, dependendo do sinal). Distâncias:
- fibra inferior (face inferior,
): . - fibra superior (face superior,
): .
Calcular tensões nas extremas:
Portanto a tensão máxima em módulo no concreto é aproximadamente
(na fibra superior, em compressão, se o momento for do tipo que comprime a face superior). A fibra inferior apresenta cerca de
(sinal oposto).
Resposta
Tensão em cada barra de aço (módulo):
(aprox.)\n
Tensão normal máxima no concreto (módulo): (aprox.)
Tensão normal máxima no concreto (módulo):