(2,0) Uma viga de concreto armado tem área de seção transversal retangular de 35 cm \times 50 \mathrm{~cm} com 3 barras de aço na parte inferior de bitola 10 mm distando 3 cm do seu centro ao fundo da viga. Se ela for submetida a um momento fletor \mathrm{M}=50 \mathrm{kN} . \mathrm{m}, qual será a tensão normal em cada barra de aço e a tensão normal máxima no concreto? Adote E_{\text {aço }}=200 \mathrm{GPa}ç e E_{\text {concreto }}=30 \mathrm{GPa}.

Passo 1

O enunciado dá uma viga com seção retangular e armadura na face inferior e pede duas coisas:
  • Qual a tensão normal em cada barra de aço (cada barra de bitola 10\\ \mathrm{mm}) quando a viga é submetida ao momento fletor M=50\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
  • Qual a tensão normal máxima no concreto.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • largura da seção: b=35\\ \mathrm{cm}=0{,}35\\ \mathrm{m}.
  • altura da seção: h=50\\ \mathrm{cm}=0{,}50\\ \mathrm{m}.
  • três barras de aço, bitola 10\\ \mathrm{mm} \Rightarrow diâmetro d=0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • distância do centro da barra ao fundo (face inferior) da viga: c_{\text{cobertura}}=3\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m}. (Logo as barras estão a 0{,}03\\ \mathrm{m} da face inferior.)
  • momento aplicado: M=50\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}=50\,000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}.
  • módulos de elasticidade: E_{\text{aço}}=200\\ \mathrm{GPa}=200\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}ç e E_{\text{concreto}}=30\\ \mathrm{GPa}=30\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
O que será necessário encontrar e usar:
  • área do concreto e das barras; posição do eixo neutro da seção composta (usar método da seção transformada porque E do aço \neq E do concreto);
  • momento de inércia transformado da seção em relação ao eixo neutro;
  • curvatura e as tensões a partir da lei da flexão linearizante (tensão proporcional à distância ao eixo neutro e ao módulo do material).

Passo 2

Calcular áreas e posições (tudo em SI: metros, metros quadrados).
Área da seção de concreto:
A_c = b\cdot h = 0{,}35\cdot 0{,}50 = 0{,}175\\ \mathrm{m}^2.
Área de cada barra de aço (círculo de diâmetro d=0{,}01\\ \mathrm{m}):
A_s^{(1)} = \frac{\pi d^{2}}{4} = \frac{\pi (0{,}01)^2}{4} = \pi\cdot 2{,}5\times10^{-5} = 7{,}8539816\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
Área total das 3 barras:
A_s = 3\cdot A_s^{(1)} = 3\cdot 7{,}8539816\times10^{-5} = 2{,}35619449\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
Fator de transformação (transformar aço em equivalente concreto):
n=\frac{E_{\text{aço}}}{E_{\text{concreto}}}=\frac{200\times10^{9}}{30\times10^{9}}=\frac{200}{30}=\frac{20}{3}\approx 6{,}6666667.ç
Área equivalente das barras em termos de concreto:
A_{s,eq}=n\cdot A_s \approx 6{,}6666667\cdot 2{,}35619449\times10^{-4} =1{,}57079633\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
Posições dos centróides (medidas a partir da face inferior, para facilitar):
  • centróide do retângulo de concreto: y_c = \dfrac{h}{2} = 0{,}25\\ \mathrm{m}.
  • centróide conjunto das barras (todas na mesma altura): y_s = 0{,}03\\ \mathrm{m}.
Centroide da seção transformada (em termos de concreto):
y_{NA}=\frac{A_c y_c + A_{s,eq} y_s}{A_c + A_{s,eq}}.
Calcular numerador e denominador:
A_c y_c = 0{,}175\cdot 0{,}25 = 0{,}04375.
A_{s,eq} y_s = 1{,}57079633\times10^{-3}\cdot 0{,}03 = 4{,}71238899\times10^{-5}.
A_{\text{total,eq}} = A_c + A_{s,eq} = 0{,}175 + 1{,}57079633\times10^{-3} =0{,}17657079633.
Logo
y_{NA}=\frac{0{,}04375 + 0{,}000047123888}{0{,}17657079633} \approx 0{,}24804\\ \mathrm{m}.
Interpretação: o eixo neutro fica a y_{NA}\approx 0{,}24804\\ \mathrm{m} acima da face inferior (ligeiramente abaixo do centro geométrico 0{,}25\\ \mathrm{m}, devido à presença do aço mais rígido na região inferior).

Passo 3

Calcular momento de inércia transformado da seção em relação ao eixo neutro I_{\text{trans}}.
Momento de inércia da placa de concreto em torno de seu próprio centróide (fórmula para retângulo sobre eixo horizontal central):
I_{c,\text{cent}}=\frac{b h^{3}}{12}=\frac{0{,}35\cdot (0{,}50)^3}{12} =\frac{0{,}35\cdot 0{,}125}{12}= \frac{0{,}04375}{12}=0{,}00364583333\\ \mathrm{m}^4.
Distância entre o centróide do concreto e o eixo neutro:
d_c = y_c - y_{NA} = 0{,}25 - 0{,}24804 \approx 0{,}0019574\\ \mathrm{m}.
Aplicando o teorema dos eixos paralelos (trasladar I_{c,\text{cent}} para o eixo neutro):
I_{c} = I_{c,\text{cent}} + A_c d_c^{2} =0{,}00364583333 + 0{,}175\cdot (0{,}0019574)^2 \approx 0{,}00364650386\\ \mathrm{m}^4.
Momentos das barras (transformadas em concreto) — tratar cada barra como área concentrada em sua distância ao eixo neutro (a contribuição de inércia própria das barras é desprezível frente à sua distância):
Distância das barras ao eixo neutro:
d_s = y_{NA} - y_s = 0{,}24804 - 0{,}03 = 0{,}21804\\ \mathrm{m}.
Momento de inércia equivalente das barras:
I_{s,eq} = A_{s,eq}\, d_s^{2} =1{,}57079633\times10^{-3}\cdot (0{,}21804)^2 \approx 7{,}468\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^4.
Momento de inércia total transformado:
I_{\text{trans}} = I_{c} + I_{s,eq} \approx 0{,}00364650386 + 0{,}00007468 =0{,}00372118\\ \mathrm{m}^4\quad(\text{aprox.}).

Passo 4

Calcular curvatura e tensões usando as relações da flexão linear para seção transformada.
A curvatura \varphi é dada por:
\varphi=\frac{M}{E_{\text{concreto}}\, I_{\text{trans}}}.
Explicação: na seção transformada usou-se o concreto como referência; a soma dos momentos internos é \varphi\cdot E_{\text{concreto}} I_{\text{trans}}, igual ao momento aplicado M. Aqui \varphi tem unidade \mathrm{m}^{-1}.
Calcular \varphi:
E_{\text{concreto}} I_{\text{trans}} = 30\times10^{9}\cdot 0{,}00372118 \approx 111{,}635{,}400\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2.
\varphi=\frac{50{,}000}{111{,}635{,}400}\approx 4{,}480\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{-1}.
Tensão no concreto a uma distância y (a partir da face inferior) é
\sigma_{c}(y)=E_{\text{concreto}}\cdot \varepsilon(y) =E_{\text{concreto}}\cdot \varphi\cdot (y - y_{NA}).
Mas, note que E_{\text{concreto}}\cdot\varphi = \dfrac{M}{I_{\text{trans}}}. Assim uma forma prática:
\sigma_{c}(y)=\frac{M}{I_{\text{trans}}}\,(y - y_{NA}).
(Esta expressão dá a tensão no concreto no ponto y.)
Tensão no aço em y=y_s é
\sigma_{s} = E_{\text{aço}}\cdot \varepsilon(y_s) =E_{\text{aço}}\cdot \varphi\cdot (y_s - y_{NA}).çç
Ou usando n=E_{\text{aço}}/E_{\text{concreto}}ç,
\sigma_{s} = n\cdot \sigma_{c}(y_s).

Passo 5

Calcular a tensão em cada barra de aço (valor numérico).
Distância do ponto da barra ao eixo neutro:
y_s - y_{NA} = 0{,}03 - 0{,}24804 = -0{,}21804\\ \mathrm{m}.
Fator M/I_{\text{trans}}:
\frac{M}{I_{\text{trans}}} \approx \frac{50{,}000}{0{,}00372118}\approx 1{,}3426\times10^{7}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-3}.
Tensão no concreto à altura da barra (intermediária, para referência):
\sigma_{c}(y_s)=\frac{M}{I_{\text{trans}}}\,(y_s - y_{NA}) \approx 1{,}3426\times10^{7}\cdot(-0{,}21804) \approx -2{,}93\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} = -2{,}93\\ \mathrm{MPa}.
Sinal negativo indica que, com a convenção adotada, essa fibra do concreto estaria comprimida; em termos práticos, o módulo da tensão é 2{,}93\\ \mathrm{MPa}.
Tensão no aço (cada barra):
\sigma_{s}=n\cdot \sigma_{c}(y_s)\approx 6{,}6666667\cdot (-2{,}93\\ \mathrm{MPa}) \approx -19{,}5\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação prática: magnitude |\sigma_{s}|\approx 19{,}5\\ \mathrm{MPa}. Se o momento aplicado for do tipo que provoca tração na face inferior (flexão fletora sagging usual), então essas barras estarão em tração de aproximadamente 19{,}5\\ \mathrm{MPa}. O sinal negativo vem apenas da escolha da direção do eixo e da fórmula; o que interessa para o projeto é o módulo e se é tração ou compressão — no caso de momento sagging, será tração.

Passo 6

Calcular a tensão normal máxima no concreto.
A tensão máxima no concreto ocorrerá na fibra mais afastada do eixo neutro (ou seja, na face superior ou inferior, dependendo do sinal). Distâncias:
  • fibra inferior (face inferior, y=0): y-y_{NA}=0 - 0{,}24804 = -0{,}24804\\ \mathrm{m}.
  • fibra superior (face superior, y=h=0{,}50\\ \mathrm{m}): y-y_{NA}=0{,}50 - 0{,}24804 = 0{,}25196\\ \mathrm{m}.
Calcular tensões nas extremas:
\sigma_{c,\text{inferior}}=\frac{M}{I_{\text{trans}}}\,(0 - y_{NA}) \approx 1{,}3426\times10^{7}\cdot(-0{,}24804)\approx -3{,}331\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} = -3{,}33\\ \mathrm{MPa}.
\sigma_{c,\text{superior}}=\frac{M}{I_{\text{trans}}}\,(0{,}50 - y_{NA}) \approx 1{,}3426\times10^{7}\cdot 0{,}25196\approx 3{,}387\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} = 3{,}39\\ \mathrm{MPa}.
Portanto a tensão máxima em módulo no concreto é aproximadamente 3{,}39\\ \mathrm{MPa} (na fibra superior, em compressão, se o momento for do tipo que comprime a face superior). A fibra inferior apresenta cerca de 3{,}33\\ \mathrm{MPa} (sinal oposto).

Resposta

Tensão em cada barra de aço (módulo): 19{,}5\\ \mathrm{MPa} (aprox.)\n
Tensão normal máxima no concreto (módulo): 3{,}39\\ \mathrm{MPa} (aprox.)

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