A seção retangular de uma viga está sujeita ao esforço cortante (V) originado devido a um carregamento distribuído. Dado que \mathrm{V}=240 \mathrm{kN} e que a sua largura e altura são de 12 cm e 20 cm . Determine as tensões cisalhantes no centro de gravidade e num ponto do extremo da seção.
Resposta: Para uma seção retangular maciça, sabe-se que distribuição da tensão cisalhante é uma parábola com valor máximo no CG de: \tau_{\max }=1,5 \frac{\mathrm{~V}}{\mathrm{~A}}=1,5 \frac{240}{12.20}=1,5 \mathrm{kN} / \mathrm{cm}^{2}. E nos extremos é nulo seu valor.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades abaixo.
Dados:
  • Força cortante total: V=240\\ \mathrm{kN}.
  • Largura da seção (espessura na direção do cisalhamento): b=12\\ \mathrm{cm}.
  • Altura da seção: h=20\\ \mathrm{cm}.
Perguntas:
  1. Determinar a tensão cisalhante no centro de gravidade da seção retangular.
  2. Determinar a tensão cisalhante num ponto no extremo (borda) da seção.

Passo 2

Fórmula básica e definição das suas grandezas. A fórmula clássica para tensão cisalhante em vigas, em um ponto da seção transversal, é
\tau=\frac{V\,Q}{I\,t},
onde:
  • \tau é a tensão cisalhante no ponto considerado (mesmas unidades da força por área);
  • V é a força cortante resultante (a dada 240\\ \mathrm{kN});
  • Q é o primeiro momento de área da parte da seção situada entre o ponto considerado e a borda, medido com respeito ao eixo neutro (unidade: área×comprimento, ex.: \mathrm{cm}^3);
  • I é o momento de inércia da seção inteira em relação ao eixo neutro (unidade: \mathrm{cm}^4);
  • t é a espessura da seção na linha onde se calcula \tau (aqui t=b, porque a largura é constante).
Explicação intuitiva:
  • Q representa “quanto de área está acima (ou abaixo) do ponto” multiplicado pela distância dessa área ao eixo neutro — quanto maior Q, maior a tendência de cisalhamento nessa linha.
  • I mede a rigidez geométrica contra curvatura; dividindo por I reduz-se a tensão para seções mais resistentes.
  • t é a largura local: se a largura é maior, a tensão se distribui em área maior e \tau diminui.

Passo 3

Calcular propriedades geométricas da seção retangular (usar fórmulas padrão).
Área da seção:
A=b\,h.
Momento de inércia em relação ao eixo neutro horizontal que passa pelo centro (retângulo, eixo pela metade da altura):
I=\frac{b\,h^{3}}{12}.
Estas fórmulas são padrão para retângulos: a área é largura vezes altura; o momento de inércia I vem da integral \int y^{2}\,dA e resulta em b h^{3}/12.

Passo 4

Calcular o primeiro momento de área Q para o ponto do centro de gravidade.
Para o ponto no eixo neutro (centro geométrico), a parte “acima” do ponto pode ser tomada como metade da seção (metade da altura). A área dessa metade é
A' = b\cdot\frac{h}{2}=\frac{b\,h}{2}.
O centro dessa metade (distância entre o centro dessa meia-área e o eixo neutro) está em
\bar{y}'=\frac{h}{4}
porque o centro de uma meia-altura de retângulo fica a um quarto da altura a partir do eixo neutro. Assim o primeiro momento de área é
Q_{\text{centro}} = A'\,\bar{y}'=\left(\frac{b\,h}{2}\right)\left(\frac{h}{4}\right)=\frac{b\,h^{2}}{8}.
Explicando devagar: Q é simplesmente “área da metade” vezes “distância do centro dessa metade ao eixo neutro”.

Passo 5

Substituir Q_{\text{centro}}, I e t=b na fórmula de \tau e simplificar algebricamente para obter expressão simples.
Começando de
\tau_{\text{centro}}=\frac{V\,Q_{\text{centro}}}{I\,b},
substituindo Q_{\text{centro}}=\dfrac{b\,h^{2}}{8} e I=\dfrac{b\,h^{3}}{12}:
\tau_{\text{centro}}=\frac{V\left(\dfrac{b\,h^{2}}{8}\right)}{\left(\dfrac{b\,h^{3}}{12}\right)b}.
Simplificando passo a passo:
\tau_{\text{centro}}=V\cdot\frac{b\,h^{2}}{8}\cdot\frac{12}{b\,h^{3}\,b} =V\cdot\frac{12}{8}\cdot\frac{1}{b\,h} =V\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{b\,h}.
Como A=b\,h, isso fica
\tau_{\text{centro}}=\frac{3}{2}\,\frac{V}{A}=1{,}5\frac{V}{A}.
Comentário: essa é a razão pela qual se diz que, para retângulo maciço, a tensão cisalhante máxima (no centro) é 1{,}5\,V/A.

Passo 6

Calcular numericamente usando os dados fornecidos.
Primeiro a área:
A=b\,h=(12\\ \mathrm{cm})\times(20\\ \mathrm{cm})=240\\ \mathrm{cm}^{2}.
Então
\frac{V}{A}=\frac{240\\ \mathrm{kN}}{240\\ \mathrm{cm}^{2}}=1\\ \mathrm{kN/cm}^{2}.
Portanto
\tau_{\text{centro}}=1{,}5\cdot1\\ \mathrm{kN/cm}^{2}=1{,}5\\ \mathrm{kN/cm}^{2}.
Conversão opcional para unidades mais comuns (pascal): 1\\ \mathrm{kN/cm}^{2}=10\\ \mathrm{MPa}, logo 1{,}5\\ \mathrm{kN/cm}^{2}=15\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Tensão no extremo da seção (borda).
No extremo (na superfície, a uma distância h/2 do eixo neutro), a área entre esse ponto e a borda é zero (não há “parte acima” quando o ponto é a própria borda), logo o primeiro momento é
Q_{\text{extremo}}=0.
Pela fórmula \tau=\dfrac{VQ}{I t} segue imediatamente
\tau_{\text{extremo}}=0.
Isto mostra por que a distribuição de \tau numa seção retangular é uma parábola com máximo no centro e zero nas bordas.

Passo 8

Resumo/interpretação física curta (para lembrar na prova):
  • A distribuição do cisalhamento em retângulos é parabólica; o máximo ocorre no eixo neutro.
  • Fórmula útil pronta: \tau_{\max}=\dfrac{3}{2}\dfrac{V}{A} para retângulo maciço (max no CG).
  • Nas superfícies externas (extremos) \tau=0.

Resposta

\tau_{\text{centro}}=1{,}5\\ \mathrm{kN/cm}^{2}=15\\ \mathrm{MPa}
\tau_{\text{extremo}}=0

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