A seção retangular de uma viga está sujeita ao esforço cortante (V) originado devido a um carregamento distribuído. Dado que
e que a sua largura e altura são de 12 cm e 20 cm . Determine as tensões cisalhantes no centro de gravidade e num ponto do extremo da seção.
Resposta: Para uma seção retangular maciça, sabe-se que distribuição da tensão cisalhante é uma parábola com valor máximo no CG de:
. E nos extremos é nulo seu valor.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades abaixo.
Dados:
- Força cortante total:
. - Largura da seção (espessura na direção do cisalhamento):
. - Altura da seção:
.
Perguntas:
- Determinar a tensão cisalhante no centro de gravidade da seção retangular.
- Determinar a tensão cisalhante num ponto no extremo (borda) da seção.
Passo 2
Fórmula básica e definição das suas grandezas. A fórmula clássica para tensão cisalhante em vigas, em um ponto da seção transversal, é
onde:
-
é a tensão cisalhante no ponto considerado (mesmas unidades da força por área); -
é a força cortante resultante (a dada ); -
é o primeiro momento de área da parte da seção situada entre o ponto considerado e a borda, medido com respeito ao eixo neutro (unidade: área×comprimento, ex.: ); -
é o momento de inércia da seção inteira em relação ao eixo neutro (unidade: ); -
é a espessura da seção na linha onde se calcula (aqui , porque a largura é constante).
Explicação intuitiva:
-
representa “quanto de área está acima (ou abaixo) do ponto” multiplicado pela distância dessa área ao eixo neutro — quanto maior , maior a tendência de cisalhamento nessa linha. -
mede a rigidez geométrica contra curvatura; dividindo por reduz-se a tensão para seções mais resistentes. -
é a largura local: se a largura é maior, a tensão se distribui em área maior e diminui.
Passo 3
Calcular propriedades geométricas da seção retangular (usar fórmulas padrão).
Área da seção:
Momento de inércia em relação ao eixo neutro horizontal que passa pelo centro (retângulo, eixo pela metade da altura):
Estas fórmulas são padrão para retângulos: a área é largura vezes altura; o momento de inércia
vem da integral
e resulta em
.
Passo 4
Calcular o primeiro momento de área
para o ponto do centro de gravidade.
Para o ponto no eixo neutro (centro geométrico), a parte “acima” do ponto pode ser tomada como metade da seção (metade da altura). A área dessa metade é
O centro dessa metade (distância entre o centro dessa meia-área e o eixo neutro) está em
porque o centro de uma meia-altura de retângulo fica a um quarto da altura a partir do eixo neutro. Assim o primeiro momento de área é
Explicando devagar:
é simplesmente “área da metade” vezes “distância do centro dessa metade ao eixo neutro”.
Passo 5
Substituir
,
e
na fórmula de
e simplificar algebricamente para obter expressão simples.
Começando de
substituindo
e
:
Simplificando passo a passo:
Como
, isso fica
Comentário: essa é a razão pela qual se diz que, para retângulo maciço, a tensão cisalhante máxima (no centro) é
.
Passo 6
Calcular numericamente usando os dados fornecidos.
Primeiro a área:
Então
Portanto
Conversão opcional para unidades mais comuns (pascal):
, logo
.
Passo 7
Tensão no extremo da seção (borda).
No extremo (na superfície, a uma distância
do eixo neutro), a área entre esse ponto e a borda é zero (não há “parte acima” quando o ponto é a própria borda), logo o primeiro momento é
Pela fórmula
segue imediatamente
Isto mostra por que a distribuição de
numa seção retangular é uma parábola com máximo no centro e zero nas bordas.
Passo 8
Resumo/interpretação física curta (para lembrar na prova):
- A distribuição do cisalhamento em retângulos é parabólica; o máximo ocorre no eixo neutro.
- Fórmula útil pronta:
para retângulo maciço (max no CG). - Nas superfícies externas (extremos)
.