4 - A máquina em referência requer uma potência de 25 Hp , e o motor que a alimenta, para a potência requerida tem uma rotação de 1800 rpm . Determinar a tensão de cisalhamento atuante no eixo 2 , se o diâmetro do mesmo é de 3 cm .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei o diâmetro indicado na figura).
  • Dados fornecidos:
    • Potência requerida pela máquina: P = 25\\ \text{Hp}.
    • Rotação do motor para essa potência: n = 1800\\ \text{rpm}.
    • Diâmetro do eixo 2: d = 3\\ \text{cm} (peguei este valor da figura/enunciado).
  • Pedido:
    • Determinar a tensão de cisalhamento atuante no eixo 2 (ou seja, a máxima tensão de cisalhamento devido ao torque transmitido pelo eixo).

Passo 2

Converter as unidades para o Sistema Internacional (SI), porque as fórmulas de torque e tensão usam unidades SI.
  • Converter potência de cavalo-vapor para watt: 1\\ \text{Hp} = 746\\ \text{W},portanto P = 25\cdot 746 = 18650\\ \text{W}.
  • Converter rotação para velocidade angular em rad/s. A relação é \omega = \frac{2\pi n}{60}.Substituindo n = 1800\\ \text{rpm}, \omega = \frac{2\pi\cdot 1800}{60} = 60\pi\\ \text{rad/s}\approx 188{,}496\\ \text{rad/s}.
  • Converter diâmetro para metros: d = 3\\ \text{cm} = 0{,}03\\ \text{m}.

Passo 3

Determinar o torque transmitido pelo eixo a partir da potência e da velocidade angular.
  • A relação entre potência, torque e velocidade angular é P = T\omega,onde T é o torque em \text{N}\cdot\text{m} e \omega em \text{rad/s}.
  • Isolando T, T=\frac{P}{\omega}.
  • Substituindo os valores convertidos: T = \frac{18650}{60\pi}\\ \text{N}\cdot\text{m}\approx 98{,}97\\ \text{N}\cdot\text{m}.(Arredondar convenientemente para os passos seguintes: T\approx 99{,}0\\ \text{N}\cdot\text{m}.)

Passo 4

Relembrando a teoria da tensão de cisalhamento por torção em um eixo circular maciço.
  • Para um eixo circular maciço submetido a um torque T, a tensão de cisalhamento máxima (na superfície) é dada por \tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},onde:
    • c é o raio do eixo ( c = d/2);
    • J é o momento polar de inércia da seção circular maciça.
  • Para uma seção circular maciça de diâmetro d, J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
  • Substituindo c=d/2 em \tau_{\max}=\dfrac{T c}{J} e usando a expressão de J, obtemos a forma prática: \tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.Esta é uma fórmula muito usada em provas: ela mostra que a tensão cresce com o torque e decai rapidamente com o aumento do diâmetro (proporção 1/d^{3}).

Passo 5

Preparar a aplicação numérica da fórmula, mostrando cada variável e unidade para evitar confusão na hora da prova.
  • Temos:
    • T\approx 98{,}97\\ \text{N}\cdot\text{m},
    • d=0{,}03\\ \text{m}.
  • A fórmula a aplicar é \tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
  • Substituindo numericamente (sem arredondar o valor final ainda), \tau_{\max}=\frac{16\cdot 98{,}97}{\pi\cdot (0{,}03)^{3}}\\ \text{Pa}.

Passo 6

Execução da conta final (calcular numericamento, passo a passo, para chegar ao resultado em Pa e depois em MPa).
  • Calcular d^{3}=(0{,}03)^{3}=0{,}000027\\ \text{m}^{3}.
  • Calcular o denominador \pi d^{3}=\pi\cdot 0{,}000027\approx 8{,}4823\times 10^{-5}.
  • Calcular o numerador 16\cdot 98{,}97\approx 1583{,}5.
  • Dividindo: \tau_{\max} \approx \frac{1583{,}5}{8{,}4823\times 10^{-5}}\\ \text{Pa}.
  • Converter para MPa (dividir por 10^{6}) para uma unidade mais prática.

Resposta

\tau = 18{,}7\\ \text{MPa}

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