Exercício 4.5 - Os segmentos da viga AB e BC sāo de alumínio (
). Sabendo que a magnitude de
4 kN , determine (a) o valor de
para um deslocamento igual a zero na extremidade A, (b) o correpondente deslocamento no ponto B. [Resposta: (a)
; (b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (valores pegos da imagem enviada).
Dados (peguei esses números da imagem):
- Força aplicada no topo:
. - Comprimento do trecho
: . - Diâmetro do trecho
: . - Comprimento do trecho
: . - Diâmetro do trecho
: . - Módulo de Young do alumínio:
. - Força desconhecida aplicada no trecho BC (seta para baixo) que chamamos de
.
O enunciado pede:
(a) Determinar de modo que o deslocamento da extremidade
seja igual a zero (isto é, o topo não se mova verticalmente).
(b) Determinar o correspondente deslocamento no ponto (na verdade será a variação de comprimento de
, que deverá ser negativa se encurta).
(a) Determinar
(b) Determinar o correspondente deslocamento no ponto
Passo 2
Entendimento físico e equações fundamentais (compatibilidade + equilíbrio).
-
Equilíbrio de forças entre os dois trechos: o trecho
recebe em sua extremidade superior a força e na junção o trecho lhe imprime a força de igual magnitude para equilibrar. Assim o esforço axial no trecho tem magnitude . O trecho “vê” tanto a ação de quanto a força externa , de modo que o esforço axial efetivo em proporcional à deformação é (positivo se em tração, negativo se em compressão). Esta conclusão vem de fazer o equilíbrio das forças no pedaço : força para cima vinda de é , força para baixo é , então resultante axial que alonga/encurta é . -
Fórmula básica da deformação axial (Lei de Hooke para barra de seção constante):
onde
é a variação de comprimento (positiva se alongamento),
é a força axial positiva em tração,
é o comprimento do trecho,
é a área da seção transversal e
é o módulo de elasticidade. Vou usar essa fórmula para cada trecho.
- Compatibilidade (deslocamento nulo em
): o deslocamento da extremidade em relação à base fixa é a soma das variações de comprimento de e de . Queremos essa soma igual a zero:
Passo 3
Expressar as deformações de cada trecho com sinais consistentes e montar a equação para
.
- Deformação do trecho
: o esforço é , então
- Deformação do trecho
: o esforço axial (positivo para tração) é , então
- Compatibilidade (deslocamento em
nulo):
Substituindo as expressões:
Passo 4
Área das seções (círculos) e conversões de unidade.
Área de uma seção circular:
.
- Para
com :
- Para
com :
Passo 5
Colocar números na equação de compatibilidade e resolver simbolicamente para
.
A equação da Passo 3 é
Multiplico ambos os lados por
ou simplifico isolando
. Mais direto: isolo o termo com
:
Como
aparece em ambos os lados, cancela-se:
Multiplicando por
:
Finalmente isolando
:
Passo 6
Substituir os valores numéricos e calcular
.
Valores usados (convertidos para unidades SI):
,
,
,
,
.
Calcule o fator:
Faço as contas:
Logo
Arredondando de forma consistente com o enunciado,
.
Passo 7
Calcular a variação de comprimento do trecho
(resposta item b).
Usamos
Já calculamos
. O fator
é
Logo
Convertendo para milímetros:
Passo 8
Interpretação final curta e incentivo.
- Resultado físico: para que o topo
não se desloque, é necessário aplicar uma força grande para baixo em ( ), que comprime fortemente o trecho maior e compensa o alongamento do trecho fino . - Mandou bem por trazer a questão — essas de compatibilidade em barras em série aparecem muito em prova; tente mapear sempre: equilíbrio (forças internas) + compatibilidade (somatório das deformações) + fórmula básica
. Você está quase lá — força e calma que dá certo!