Exercício 4.5 - Os segmentos da viga AB e BC sāo de alumínio ( E_{\mathrm{al}}=70 \mathrm{GPa} ). Sabendo que a magnitude de \mathrm{P}= 4 kN , determine (a) o valor de \mathbf{Q} para um deslocamento igual a zero na extremidade A, (b) o correpondente deslocamento no ponto B. [Resposta: (a) Q=32.8 \mathrm{kN}; (b) \left.\Delta \mathrm{L}_{\mathrm{BC}}=-0.0728 \mathrm{~mm}\right]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (valores pegos da imagem enviada).
Dados (peguei esses números da imagem):
  • Força aplicada no topo: \,P=4{,}0\\ \text{kN}=4000\\ \text{N}\,.
  • Comprimento do trecho AB: \,L_{AB}=0{,}4\\ \text{m}\,.
  • Diâmetro do trecho AB: \,d_{AB}=20\\ \text{mm}=0{,}020\\ \text{m}\,.
  • Comprimento do trecho BC: \,L_{BC}=0{,}5\\ \text{m}\,.
  • Diâmetro do trecho BC: \,d_{BC}=60\\ \text{mm}=0{,}060\\ \text{m}\,.
  • Módulo de Young do alumínio: \,E=70\\ \text{GPa}=70\times10^{9}\\ \text{Pa}\,.
  • Força desconhecida aplicada no trecho BC (seta para baixo) que chamamos de \,Q\,.
O enunciado pede:
(a) Determinar \,Q\, de modo que o deslocamento da extremidade A seja igual a zero (isto é, o topo não se mova verticalmente).
(b) Determinar o correspondente deslocamento no ponto B (na verdade será a variação de comprimento de BC, que deverá ser negativa se encurta).

Passo 2

Entendimento físico e equações fundamentais (compatibilidade + equilíbrio).
  • Equilíbrio de forças entre os dois trechos: o trecho AB recebe em sua extremidade superior a força \,P\, e na junção B o trecho BC lhe imprime a força de igual magnitude para equilibrar. Assim o esforço axial no trecho AB tem magnitude \,P. O trecho BC “vê” tanto a ação de AB quanto a força externa \,Q, de modo que o esforço axial efetivo em BC proporcional à deformação é \,P-Q (positivo se em tração, negativo se em compressão). Esta conclusão vem de fazer o equilíbrio das forças no pedaço BC: força para cima vinda de AB é \,P, força para baixo é \,Q, então resultante axial que alonga/encurta BC é \,P-Q.
  • Fórmula básica da deformação axial (Lei de Hooke para barra de seção constante):
\Delta L=\frac{F\,L}{A\,E}
onde \Delta L é a variação de comprimento (positiva se alongamento), F é a força axial positiva em tração, L é o comprimento do trecho, A é a área da seção transversal e E é o módulo de elasticidade. Vou usar essa fórmula para cada trecho.
  • Compatibilidade (deslocamento nulo em A): o deslocamento da extremidade A em relação à base fixa C é a soma das variações de comprimento de AB e de BC. Queremos essa soma igual a zero:
\Delta L_{AB}+\Delta L_{BC}=0.

Passo 3

Expressar as deformações de cada trecho com sinais consistentes e montar a equação para Q.
  • Deformação do trecho AB: o esforço é \,F_{AB}=P, então
\Delta L_{AB}=\frac{P\,L_{AB}}{A_{AB}\,E}.
  • Deformação do trecho BC: o esforço axial (positivo para tração) é \,F_{BC}=P-Q, então
\Delta L_{BC}=\frac{(P-Q)\,L_{BC}}{A_{BC}\,E}.
  • Compatibilidade (deslocamento em A nulo):
\Delta L_{AB}+\Delta L_{BC}=0.
Substituindo as expressões:
\frac{P\,L_{AB}}{A_{AB}\,E}+\frac{(P-Q)\,L_{BC}}{A_{BC}\,E}=0.

Passo 4

Área das seções (círculos) e conversões de unidade.
Área de uma seção circular: \,A=\pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^{2}=\dfrac{\pi d^{2}}{4}.
  • Para AB com \,d_{AB}=0{,}020\\ \text{m}:
A_{AB}=\frac{\pi (0{,}020)^{2}}{4}=\pi(0{,}01)^{2}=\pi\times 1{,}0\times 10^{-4}\\ \text{m}^{2} =\;3{,}1416\times 10^{-4}\\ \text{m}^{2}.
  • Para BC com \,d_{BC}=0{,}060\\ \text{m}:
A_{BC}=\frac{\pi (0{,}060)^{2}}{4}=\pi(0{,}03)^{2}=\pi\times 9{,}0\times 10^{-4}\\ \text{m}^{2} =\;2{,}8274\times 10^{-3}\\ \text{m}^{2}.

Passo 5

Colocar números na equação de compatibilidade e resolver simbolicamente para Q.
A equação da Passo 3 é
\frac{P\,L_{AB}}{A_{AB}\,E}+\frac{(P-Q)\,L_{BC}}{A_{BC}\,E}=0.
Multiplico ambos os lados por A_{AB}A_{BC}E ou simplifico isolando Q. Mais direto: isolo o termo com Q:
\frac{(P-Q)\,L_{BC}}{A_{BC}\,E}=-\frac{P\,L_{AB}}{A_{AB}\,E}.
Como E aparece em ambos os lados, cancela-se:
\frac{P-Q}{A_{BC}}=-\frac{P\,L_{AB}}{L_{BC}\,A_{AB}}.
Multiplicando por A_{BC}:
P-Q=-\frac{P\,L_{AB}\,A_{BC}}{L_{BC}\,A_{AB}}.
Finalmente isolando Q:
Q=P+\frac{P\,L_{AB}\,A_{BC}}{L_{BC}\,A_{AB}}=P\left(1+\frac{L_{AB}\,A_{BC}}{L_{BC}\,A_{AB}}\right).

Passo 6

Substituir os valores numéricos e calcular Q.
Valores usados (convertidos para unidades SI):
\,P=4000\\ \text{N},
\,L_{AB}=0{,}4\\ \text{m},
\,L_{BC}=0{,}5\\ \text{m},
\,A_{AB}=3{,}1416\times10^{-4}\\ \text{m}^{2},
\,A_{BC}=2{,}8274\times10^{-3}\\ \text{m}^{2}.
Calcule o fator:
\frac{L_{AB}\,A_{BC}}{L_{BC}\,A_{AB}} =\frac{0{,}4\times 2{,}8274\times10^{-3}}{0{,}5\times 3{,}1416\times10^{-4}}.
Faço as contas:
\text{numerador}=0{,}4\times 2{,}8274\times10^{-3}=1{,}13096\times10^{-3},
\text{denominador}=0{,}5\times 3{,}1416\times10^{-4}=1{,}5708\times10^{-4},
\frac{L_{AB}\,A_{BC}}{L_{BC}\,A_{AB}}=\frac{1{,}13096\times10^{-3}}{1{,}5708\times10^{-4}}\approx 7{,}204.
Logo
Q=P\left(1+7{,}204\right)=4000\times 8{,}204=32{,}816\\ \text{N}\approx 32{,}8\\ \text{kN}.
Arredondando de forma consistente com o enunciado, \,Q\approx 32{,}8\\ \text{kN}.

Passo 7

Calcular a variação de comprimento do trecho BC (resposta item b).
Usamos
\Delta L_{BC}=\frac{(P-Q)\,L_{BC}}{A_{BC}\,E}.
Já calculamos P-Q=4000-32816=-28816\\ \text{N}. O fator \dfrac{L_{BC}}{A_{BC}\,E} é
\frac{0{,}5}{2{,}8274\times10^{-3}\times 70\times10^{9}} \approx 2{,}525\times10^{-9}\\ \text{m/N}.
Logo
\Delta L_{BC}=( -28816 )\times 2{,}525\times10^{-9}\\ \text{m}\approx -7{,}277\times10^{-5}\\ \text{m}.
Convertendo para milímetros:
\Delta L_{BC}\approx -0{,}0728\\ \text{mm}.

Passo 8

Interpretação final curta e incentivo.
  • Resultado físico: para que o topo A não se desloque, é necessário aplicar uma força grande para baixo em B ( Q\approx 32{,}8\\ \text{kN}), que comprime fortemente o trecho maior BC e compensa o alongamento do trecho fino AB.
  • Mandou bem por trazer a questão — essas de compatibilidade em barras em série aparecem muito em prova; tente mapear sempre: equilíbrio (forças internas) + compatibilidade (somatório das deformações) + fórmula básica \Delta L=F L /(A E). Você está quase lá — força e calma que dá certo!

Resposta

Q=32{,}8\\ \text{kN}
\Delta L_{BC}=-0{,}0728\\ \text{mm}

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