Viscous liquid from a circular tank, D=300 \mathrm{~mm} in diameter, drains through a long circular tube of radius R=50 \mathrm{~mm}. The velocity profile at the tube discharge is
u=u_{\max }\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right]
Show that the average speed of flow in the drain tube is \bar{V}=\frac{1}{2} u_{\text {max }} Evaluate the rate of change of liquid level in the tank at the instant when $u_{\max }=0.155 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá o perfil de velocidade no tubo descarga e pede duas coisas:
  • Mostrar analiticamente que a velocidade média na seção é \bar{V}=\dfrac{1}{2}u_{\max}.
  • Avaliar a taxa de variação do nível do líquido no tanque quando u_{\max}=0,155\\ \mathrm{m/s}.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • Raio do tubo: R=50\\ \mathrm{mm}=0,05\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro do tanque: D=300\\ \mathrm{mm}=0,3\\ \mathrm{m}.
  • Perfil de velocidade no tubo (dependendo apenas de r):
u(r)=u_{\max}\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right].
O que vamos calcular nos próximos passos:
  1. A expressão para a velocidade média \bar{V} usando a definição média sobre a área da seção.
  2. A vazão Q correspondente e, a partir dela, a taxa \dfrac{dh}{dt} do nível do tanque (assumindo escoamento somente por esse tubo, tanque com seção horizontal circular constante).

Passo 2

Definição e ideias básicas (aulas rápidas):
  • A velocidade média sobre a seção é a vazão volumétrica dividida pela área da seção. Em forma integral,
\bar{V}=\frac{1}{A}\int_{A} u\, dA,
onde A é a área da seção do tubo.
  • Para uma seção circular de raio R temos A=\pi R^{2}.
  • Como u depende apenas da distância radial r, é natural usar coordenadas cilíndricas; um anel de raio r e espessura dr tem área dA=2\pi r\,dr. Vou usar isso no integral para calcular a média.

Passo 3

Cálculo da velocidade média \bar{V} passo a passo:
Aplicando a definição,
\bar{V}=\frac{1}{A}\int_{A} u\, dA =\frac{1}{\pi R^{2}}\int_{0}^{R} u(r)\,2\pi r\,dr.
Substituindo u(r)=u_{\max}\left[1-\left(\dfrac{r}{R}\right)^{2}\right]:
\bar{V}=\frac{1}{\pi R^{2}}\;2\pi u_{\max}\int_{0}^{R}\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right)r\,dr.
Simplifico o fator \pi:
\bar{V}=\frac{2u_{\max}}{R^{2}}\int_{0}^{R}\left(r-\frac{r^{3}}{R^{2}}\right)dr.
Faço a integral termo a termo:
\int_{0}^{R} r\,dr=\left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{R}=\frac{R^{2}}{2}, \qquad \int_{0}^{R} r^{3}\,dr=\left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{R}=\frac{R^{4}}{4}.
Portanto
\bar{V}=\frac{2u_{\max}}{R^{2}}\left(\frac{R^{2}}{2}-\frac{1}{R^{2}}\cdot\frac{R^{4}}{4}\right) =\frac{2u_{\max}}{R^{2}}\left(\frac{R^{2}}{2}-\frac{R^{2}}{4}\right).
Simplificando dentro dos parênteses:
\frac{R^{2}}{2}-\frac{R^{2}}{4}=\frac{R^{2}}{4},
logo
\bar{V}=\frac{2u_{\max}}{R^{2}}\cdot\frac{R^{2}}{4}=\frac{u_{\max}}{2}.
Isto prova a relação pedida:
\boxed{\bar{V}=\dfrac{1}{2}u_{\max}.}

Passo 4

Calcular a vazão Q no tubo usando \bar{V}:
Q=A\bar{V}=\pi R^{2}\cdot\frac{u_{\max}}{2}.
Substituindo numericamente R=0,05\\ \mathrm{m} e u_{\max}=0,155\\ \mathrm{m/s}:
\pi R^{2}=\pi(0,05)^{2}=\pi\cdot0,0025\approx0,00785398\\ \mathrm{m^{2}}.
Então
Q=\left(\pi\cdot0,0025\right)\cdot\frac{0,155}{2} =\pi\cdot0,0025\cdot0,0775 \approx0,0006084\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 5

Relação com a variação do nível do tanque (continuidade do volume):
  • Área horizontal do tanque (seção do tanque) é
A_{\text{tanque}}=\pi\left(\frac{D}{2}\right)^{2}=\pi\left(\frac{0,3}{2}\right)^{2}=\pi(0,15)^{2}=\pi\cdot0,0225\approx0,0706858\\ \mathrm{m^{2}}.
  • O volume do líquido é V=A_{\text{tanque}}\,h. A vazão de saída Q reduz o volume, logo
\frac{dV}{dt}=A_{\text{tanque}}\frac{dh}{dt}=-Q.
Isolando \dfrac{dh}{dt}:
\frac{dh}{dt}=-\frac{Q}{A_{\text{tanque}}}.
Substituindo os valores numéricos:
\frac{dh}{dt}=-\frac{0,0006084}{0,0706858}\approx-0,00861\\ \mathrm{m/s}.
Em unidades mais intuitivas, isto é -8,61\\ \mathrm{mm/s}. O sinal negativo indica que o nível está diminuindo.

Resposta

\bar{V}=\dfrac{1}{2}u_{\max}=0,0775\\ \mathrm{m/s}
\dfrac{dh}{dt}=-8{,}61\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}

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