Viscous liquid from a circular tank, D=300 \mathrm{~mm} in diameter, drains through a long circular tube of radius R=50 \mathrm{~mm}. The velocity profile at the tube discharge is
Show that the average speed of flow in the drain tube is \bar{V}=\frac{1}{2} u_{\text {max }} Evaluate the rate of change of liquid level in the tank at the instant when $u_{\max }=0.155 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Passo 1
O enunciado dá o perfil de velocidade no tubo descarga e pede duas coisas:
Mostrar analiticamente que a velocidade média na seção é \bar{V}=\dfrac{1}{2}u_{\max}.
Avaliar a taxa de variação do nível do líquido no tanque quando u_{\max}=0,155\\ \mathrm{m/s}.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
Raio do tubo: R=50\\ \mathrm{mm}=0,05\\ \mathrm{m}.
Diâmetro do tanque: D=300\\ \mathrm{mm}=0,3\\ \mathrm{m}.
Perfil de velocidade no tubo (dependendo apenas de r):
A expressão para a velocidade média \bar{V} usando a definição média sobre a área da seção.
A vazão Q correspondente e, a partir dela, a taxa \dfrac{dh}{dt} do nível do tanque (assumindo escoamento somente por esse tubo, tanque com seção horizontal circular constante).
Passo 2
Definição e ideias básicas (aulas rápidas):
A velocidade média sobre a seção é a vazão volumétrica dividida pela área da seção. Em forma integral,
\bar{V}=\frac{1}{A}\int_{A} u\, dA,
onde A é a área da seção do tubo.
Para uma seção circular de raio R temos A=\pi R^{2}.
Como u depende apenas da distância radial r, é natural usar coordenadas cilíndricas; um anel de raio r e espessura dr tem área dA=2\pi r\,dr. Vou usar isso no integral para calcular a média.
Passo 3
Cálculo da velocidade média \bar{V} passo a passo:
Aplicando a definição,
\bar{V}=\frac{1}{A}\int_{A} u\, dA =\frac{1}{\pi R^{2}}\int_{0}^{R} u(r)\,2\pi r\,dr.