A tank of 0.5 \mathrm{~m}^{3} volume contains compressed air. A valve is opened and air escapes with a velocity of 300 \mathrm{~m} / \mathrm{s} through an opening of 130 \mathrm{~mm}^{2} area. Air temperature passing through the opening is -15^{\circ} \mathrm{C} and the absolute pressure is 350 kPa . Find the rate of change of density of the air in the tank at this moment.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Volume do tanque: V = 0,5\\ \mathrm{m}^3.
    • Velocidade do ar na saída: v = 300\\ \mathrm{m/s}.
    • Área da abertura: A = 130\\ \mathrm{mm}^2.
    • Temperatura do ar na saída: -15^\circ\mathrm{C}.
    • Pressão absoluta do ar na saída: p = 350\\ \mathrm{kPa}.
  • O que é pedido:
    • A taxa de variação da densidade do ar no tanque naquele instante, isto é \dot{\rho} (unidade \mathrm{kg\,m^{-3}\,s^{-1}}).
Observação: a abertura permite escoamento que remove massa do tanque; como o volume do tanque é fixo, a densidade no tanque muda por perda de massa.

Passo 2

Converter unidades e preparar fórmulas que vamos usar.
  • Converter a área de \mathrm{mm}^2 para \mathrm{m}^2: A = 130\\ \mathrm{mm}^2 = 130\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2 = 1{,}30\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
  • Converter a temperatura para Kelvin: T = -15^\circ\mathrm{C} = 273{,}15 - 15 = 258{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Converter a pressão para Pascal: p = 350\\ \mathrm{kPa} = 350000\\ \mathrm{Pa}.
Vocês vão ver duas fórmulas principais:
  1. Lei dos gases ideais para calcular a densidade na saída (assumimos ar ideal nas condições dadas):
    \rho_e = \frac{p}{R\,T},
    onde \rho_e é a densidade do ar na saída, p é a pressão absoluta, T a temperatura absoluta e R a constante específica do ar. Para o ar seco:
    R = 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    Explicando: a equação relaciona pressão, densidade e temperatura — com R conhecido dá para obter \rho.
  2. Taxa mássica que sai pelo orifício (assumimos velocidade uniforme v e densidade \rho_e naquela seção):
    \dot{m}_{out} = \rho_e \, A \, v.
    Explicando: \dot{m}_{out} é massa por unidade de tempo; A v é o caudal volumétrico ( \mathrm{m^3/s}) e multiplicando pela densidade dá kg/s.
  3. Relação entre taxa de variação da densidade do tanque e taxa mássica que sai (volume constante):
    m_{tanque} = \rho\,V \quad\Rightarrow\quad \dot{m}_{tanque} = V\,\dot{\rho}.
    Como \dot{m}_{tanque} é a variação de massa dentro do tanque e é negativa quando massa sai, temos
    V\,\dot{\rho} = -\dot{m}_{out} \quad\Rightarrow\quad \dot{\rho} = -\frac{\dot{m}_{out}}{V}.
    Explicando o sinal: saída de massa diminui a massa no tanque, portanto \dot{\rho} será negativo.

Passo 3

Calcular a densidade do ar na saída usando a lei dos gases ideais.
Usando
\rho_e = \frac{p}{R\,T},
substituindo:
\rho_e = \frac{350000}{287\cdot 258{,}15}\\ \mathrm{kg/m^3}.
Agora calcular o denominador:
287\cdot 258{,}15 = 74089{,}05.
Portanto
\rho_e \approx \frac{350000}{74089{,}05} \approx 4{,}724\\ \mathrm{kg/m^3}.
Interpretação: isso significa que nas condições dadas (350 kPa e -15^\circC) a massa por volume é cerca de 4{,}724\\ \mathrm{kg} em cada metro cúbico.

Passo 4

Calcular a vazão mássica que sai pelo orifício.
Primeiro o caudal volumétrico:
A\,v = 1{,}30\times10^{-4}\cdot 300 = 0{,}039\\ \mathrm{m^3/s}.
Agora a vazão mássica:
\dot{m}_{out} = \rho_e\,A\,v = 4{,}724\cdot 0{,}039 \approx 0{,}1842\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação: a cada segundo sai do tanque cerca de 0{,}1842\\ \mathrm{kg} de ar.

Passo 5

Calcular a taxa de variação da densidade no tanque.
Usando
\dot{\rho} = -\frac{\dot{m}_{out}}{V},
substituindo:
\dot{\rho} = -\frac{0{,}1842}{0{,}5} \approx -0{,}3684\\ \mathrm{kg\,m^{-3}\,s^{-1}}.
Interpretação final e checagem de consistência: o sinal negativo indica que a densidade no tanque está diminuindo. A magnitude significa que a cada segundo a densidade dentro do tanque reduz cerca de 0{,}368\\ \mathrm{kg/m^3}. As unidades batem: kg/s dividido por m^3 dá kg·m{-3}·s{-1}.

Resposta

-0{,}3684\\ \mathrm{kg\,m^{-3}\,s^{-1}}

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