A tank of
volume contains compressed air. A valve is opened and air escapes with a velocity of
through an opening of
area. Air temperature passing through the opening is
and the absolute pressure is 350 kPa . Find the rate of change of density of the air in the tank at this moment.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Volume do tanque:
. - Velocidade do ar na saída:
. - Área da abertura:
. - Temperatura do ar na saída:
. - Pressão absoluta do ar na saída:
.
- Volume do tanque:
-
O que é pedido:
- A taxa de variação da densidade do ar no tanque naquele instante, isto é
(unidade ).
- A taxa de variação da densidade do ar no tanque naquele instante, isto é
Observação: a abertura permite escoamento que remove massa do tanque; como o volume do tanque é fixo, a densidade no tanque muda por perda de massa.
Passo 2
Converter unidades e preparar fórmulas que vamos usar.
- Converter a área de
para : - Converter a temperatura para Kelvin:
- Converter a pressão para Pascal:
Vocês vão ver duas fórmulas principais:
-
Lei dos gases ideais para calcular a densidade na saída (assumimos ar ideal nas condições dadas):onde
é a densidade do ar na saída, é a pressão absoluta, a temperatura absoluta e a constante específica do ar. Para o ar seco: Explicando: a equação relaciona pressão, densidade e temperatura — comconhecido dá para obter . -
Taxa mássica que sai pelo orifício (assumimos velocidade uniforme
e densidade naquela seção): Explicando:é massa por unidade de tempo; é o caudal volumétrico ( ) e multiplicando pela densidade dá kg/s. -
Relação entre taxa de variação da densidade do tanque e taxa mássica que sai (volume constante):Como
é a variação de massa dentro do tanque e é negativa quando massa sai, temos Explicando o sinal: saída de massa diminui a massa no tanque, portantoserá negativo.
Passo 3
Calcular a densidade do ar na saída usando a lei dos gases ideais.
Usando
substituindo:
Agora calcular o denominador:
Portanto
Interpretação: isso significa que nas condições dadas (350 kPa e
C) a massa por volume é cerca de
em cada metro cúbico.
Passo 4
Calcular a vazão mássica que sai pelo orifício.
Primeiro o caudal volumétrico:
Agora a vazão mássica:
Interpretação: a cada segundo sai do tanque cerca de
de ar.
Passo 5
Calcular a taxa de variação da densidade no tanque.
Usando
substituindo:
Interpretação final e checagem de consistência: o sinal negativo indica que a densidade no tanque está diminuindo. A magnitude significa que a cada segundo a densidade dentro do tanque reduz cerca de
. As unidades batem: kg/s dividido por m^3 dá kg·m{-3}·s{-1}.