A Voavoa S.A. aluga três tipos de aviões para viagens: monomotores, jatinhos e boeings. A companhia fornece com o aviião um piloto para navegá-lo e uma
tripulacão, que varia de acordo com a aeronave 1 comissário para monomotores 3 para jatinhos e 6 para os boeings. A companhia tem 8 monomotores, 4 jatinhos e 2 boeings, e em seu corpo de funcionários, 8 pilotos e 14 comissários. O aluguel é por diárias e a
Voavoa S.A. lucra 50 u.m. por monomotores, 100 u.m. por jatinhos e 200 u.m. por boeing. Quantos aviões de cada tipo devem ser alugados para que a empresa tenha o maior lucro possivel?

Passo 1

Beleza, o problema é de Programação Linear Inteira: a Voavoa S.A. aluga 3 tipos de aviões (monomotores, jatinhos e boeings) e quer maximizar o lucro sabendo que tem limite de avião, de pilotos e de comissários.
Conteúdo: modelagem de variáveis, restrições lineares e busca de solução inteira (já que não dá pra alugar meio avião).
O que a gente vai precisar:
  1. Definir variáveis para cada tipo de avião;
  2. Montar as restrições de disponibilidade (aviões, pilotos e comissários);
  3. Montar a função objetivo (lucro);
  4. Testar as possíveis soluções inteiras (cantos da região viável) pra achar o máximo.

Passo 2

Definindo as variáveis:
M = número de monomotores alugados
J = número de jatinhos alugados
B = número de boeings alugados
Função-objetivo (lucro total):
max; Z = 50M + 100J + 200B
Restrições:
  1. Disponibilidade de aviões:
M <= 8, J <= 4, B <= 2
  1. Pilotos (1 por avião):
M + J + B <= 8
  1. Comissários (1 p/ monomotor, 3 p/ jatinho, 6 p/ boeing):
1cdot M + 3cdot J + 6cdot B <= 14
  1. Integralidade e não-negatividade:
M,J,B in Z>=0

Passo 3

Explicando rapidinho a teoria:
– É um problema de “programação linear inteira” porque as variáveis têm de ser inteiras.
– Geometricamente, a região das soluções válidas é um “poliedro” definido pelas restrições.
– Em LP contínuo, a gente pegaria os vértices desse poliedro.
– Como aqui é inteiro, a gente testa as tuplas (M,J,B) inteiras que estejam dentro das restrições e escolhe a que dá maior Z.

Passo 4

Vamos enumerar por “casos” de B (0,1 ou 2 boeings), porque só tem 3 possibilidades de B, e para cada uma achar o melhor par (M,J).
Caso B=0:
– Pilotos: M+J ≤ 8
– Comissários: M+3J ≤ 14
– Monomotores ≤8, jatinhos ≤4
Testando J=0…4 e pegando M máximo em cada caso, achamos que o par (M,J) = (5,3) dá lucro
Z = 50cdot5 + 100cdot3 + 200cdot0 = 250 + 300 = 550
Caso B=1:
– M+J ≤ 7
– M+3J ≤ 8
– M ≤8, J ≤4
Testando J=0…4, o melhor é (M,J) = (7,0) ou (5,1), ambos dão
Z = 50cdot7 +100cdot0 +200cdot1 = 350 + 0 + 200 = 550
ou
Z = 50cdot5 +100cdot1 +200cdot1 = 250 +100 +200 = 550
Caso B=2:
– M+J ≤ 6
– M+3J ≤ 2
Só cabe J=0 e M ≤2, logo (M,J)=(2,0) e
Z = 50cdot2 +100cdot0 +200cdot2 = 100 + 400 = 500

Passo 5

Comparando os lucros achados:
– B=0, (M,J)=(5,3) → Z=550
– B=1, (M,J)=(7,0) ou (5,1) → Z=550
– B=2 → Z=500
O máximo é 550 unidades monetárias, e três combinações atingem isso:
(5 monomotores, 3 jatinhos, 0 boeings)
(7 monomotores, 0 jatinhos, 1 boeing)
(5 monomotores, 1 jatinho, 1 boeing)

Resposta

Uma solução ótima é alugar 5 monomotores, 3 jatinhos e 0 boeings (lucro = 550 u.m.).

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