Como você descreveria o sistema? Existem constantes de movimento? Considere a transformação de coordenadas
Qual é a lagrangiana efetiva em termos de
? Encontre a equação de movimento para
. O que esses resultados dizem sobre as quantidades conservadas para o sistema? (Exercício tirado do Goldstein).
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema físico que queremos descrever usando a Lagrangiana, que é uma função que nos ajuda a entender o comportamento do sistema. A questão nos pergunta se existem “constantes de movimento” (quantidades que permanecem constantes durante o movimento do sistema) e nos pede para considerar uma transformação de coordenadas dada por:
Nosso objetivo é encontrar a Lagrangiana efetiva em termos de $ s $, descobrir a equação de movimento para $ s $ e entender o que isso nos diz sobre as quantidades conservadas no sistema.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa essa transformação de coordenadas. A equação $ s = e^{\gamma t / 2} q $ sugere que estamos olhando para uma coordenada $ q $ que está sendo escalada por um fator que depende do tempo $ t $. Essa transformação é útil para simplificar a Lagrangiana do sistema, especialmente se o sistema incluir termos que variam com o tempo.
Passo 3
Vamos começar assumindo que a Lagrangiana original do sistema tem a forma típica de um oscilador harmônico desacoplado com amortecimento:
Aqui, $ m $ é a massa, $ \omega $ é a frequência natural, e $ \gamma $ é o coeficiente de amortecimento.
Passo 4
Agora, aplicamos a transformação de coordenadas $ s = e^{\gamma t / 2} q $. Precisamos expressar $ q $ e $ \dot{q} $ em termos de $ s $ e $ \dot{s} $:
Diferenciando em relação ao tempo:
Passo 5
Substituímos $ q $ e $ \dot{q} $ na Lagrangiana original:
Passo 6
Expandindo os termos e simplificando:
Podemos ignorar os termos que são totalizações de derivadas de tempo quando formulamos a Lagrangiana efetiva, resultando em:
Passo 7
Agora, temos a Lagrangiana efetiva em termos de $ s $:
Isso simplifica a análise do sistema, permitindo-nos derivar a equação de movimento para $ s $ de forma mais direta.
Passo 8
Para encontrar a equação de movimento, usamos a equação de Euler-Lagrange:
Calculando as derivadas necessárias:
Passo 9
Substituindo na equação de Euler-Lagrange:
Podemos dividir todos os termos por $ m e^{-\gamma t} $:
Passo 10
Rearranjando a equação:
Para simplificar, podemos considerar os termos constantes e entender que a transformação simplificou a equação de movimento original.
Passo 11
Observando a forma da equação de movimento para $ s $, vemos que ela não depende mais explicitamente do tempo, o que sugere que existe uma quantidade conservada no sistema quando usamos a coordenada $ s $.
Passo 12
A existência de uma Lagrangiana efetiva que não depende explicitamente do tempo implica, pelo teorema de Noether, na existência de uma quantidade conservada. Portanto, a transformação que aplicamos revela que o sistema possui uma constante de movimento na coordenada $ s $, apesar do sistema original ter amortecimento.
Resposta
Após realizar a transformação de coordenadas $ s = e^{\gamma t / 2} q $, a Lagrangiana efetiva do sistema em termos de $ s $ é:
A equação de movimento para $ s $ é:
Esses resultados indicam que, após a transformação de coordenadas, o sistema possui uma quantidade conservada associada à coordenada $ s $, mesmo que o sistema original apresentasse amortecimento.