Como você descreveria o sistema? Existem constantes de movimento? Considere a transformação de coordenadas
s=e^gamma t / 2 q
Qual é a lagrangiana efetiva em termos de s ? Encontre a equação de movimento para s. O que esses resultados dizem sobre as quantidades conservadas para o sistema? (Exercício tirado do Goldstein).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema físico que queremos descrever usando a Lagrangiana, que é uma função que nos ajuda a entender o comportamento do sistema. A questão nos pergunta se existem “constantes de movimento” (quantidades que permanecem constantes durante o movimento do sistema) e nos pede para considerar uma transformação de coordenadas dada por:
s = e^gamma t / 2 q
Nosso objetivo é encontrar a Lagrangiana efetiva em termos de $ s $, descobrir a equação de movimento para $ s $ e entender o que isso nos diz sobre as quantidades conservadas no sistema.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa essa transformação de coordenadas. A equação $ s = e^{\gamma t / 2} q $ sugere que estamos olhando para uma coordenada $ q $ que está sendo escalada por um fator que depende do tempo $ t $. Essa transformação é útil para simplificar a Lagrangiana do sistema, especialmente se o sistema incluir termos que variam com o tempo.

Passo 3

Vamos começar assumindo que a Lagrangiana original do sistema tem a forma típica de um oscilador harmônico desacoplado com amortecimento:
L = 12 m dotq^2 - 12 m omega^2 q^2 - 12 gamma q^2
Aqui, $ m $ é a massa, $ \omega $ é a frequência natural, e $ \gamma $ é o coeficiente de amortecimento.

Passo 4

Agora, aplicamos a transformação de coordenadas $ s = e^{\gamma t / 2} q $. Precisamos expressar $ q $ e $ \dot{q} $ em termos de $ s $ e $ \dot{s} $:
s = e^gamma t / 2 q
Diferenciando em relação ao tempo:
q

Passo 5

Substituímos $ q $ e $ \dot{q} $ na Lagrangiana original:
q

Passo 6

Expandindo os termos e simplificando:
L = 12 m e^-gamma t dots^2 - 12 m gamma2 e^-gamma t s dots - 12 m gamma^24 e^-gamma t s^2 - 12 m omega^2 e^-gamma t s^2 - 12 gamma e^-gamma t s^2
Podemos ignorar os termos que são totalizações de derivadas de tempo quando formulamos a Lagrangiana efetiva, resultando em:
Lefetiva = 12 m e^-gamma t dots^2 - 12 e^-gamma t ( m omega^2 + m gamma^24 + gamma ) s^2

Passo 7

Agora, temos a Lagrangiana efetiva em termos de $ s $:
s
Isso simplifica a análise do sistema, permitindo-nos derivar a equação de movimento para $ s $ de forma mais direta.

Passo 8

Para encontrar a equação de movimento, usamos a equação de Euler-Lagrange:
ddt( partial Lpartial dots ) - partial Lpartial s = 0
Calculando as derivadas necessárias:
partial Lpartial dots = m e^-gamma t dots
ddt( m e^-gamma t dots ) = m e^-gamma t ddots - m gamma2 e^-gamma t dots
partial Lpartial s = - e^-gamma t ( m omega^2 + m gamma^24 + gamma ) s

Passo 9

Substituindo na equação de Euler-Lagrange:
m e^-gamma t ddots - m gamma2 e^-gamma t dots + e^-gamma t ( m omega^2 + m gamma^24 + gamma ) s = 0
Podemos dividir todos os termos por $ m e^{-\gamma t} $:
m e^-gamma t

Passo 10

Rearranjando a equação:
ddots + ( omega^2 + gamma^24 + gammam ) s = gamma2 dots
Para simplificar, podemos considerar os termos constantes e entender que a transformação simplificou a equação de movimento original.

Passo 11

Observando a forma da equação de movimento para $ s $, vemos que ela não depende mais explicitamente do tempo, o que sugere que existe uma quantidade conservada no sistema quando usamos a coordenada $ s $.

Passo 12

A existência de uma Lagrangiana efetiva que não depende explicitamente do tempo implica, pelo teorema de Noether, na existência de uma quantidade conservada. Portanto, a transformação que aplicamos revela que o sistema possui uma constante de movimento na coordenada $ s $, apesar do sistema original ter amortecimento.

Resposta

Após realizar a transformação de coordenadas $ s = e^{\gamma t / 2} q $, a Lagrangiana efetiva do sistema em termos de $ s $ é:
s = e^gamma t / 2 q
A equação de movimento para $ s $ é:
s
Esses resultados indicam que, após a transformação de coordenadas, o sistema possui uma quantidade conservada associada à coordenada $ s $, mesmo que o sistema original apresentasse amortecimento.

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