Mostre que existem soluções onde
constante. Qual é a frequência
correspondente neste caso?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que existem soluções onde $ r(t) = r_0 $, ou seja, que o raio $ r $ é constante ao longo do tempo. Além disso, queremos descobrir qual é a frequência $ \omega $ correspondente a essa solução. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico e as equações do movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ r(t) = r_0 $ ser constante. Isso indica que o objeto está se movendo em uma trajetória circular com raio fixo $ r_0 $. Nesse caso, a velocidade radial (a que muda o raio) é zero, e apenas a velocidade angular está presente.
Passo 3
Sabemos que, para um movimento circular uniforme, a força centrípeta é responsável por manter o objeto na trajetória circular. A força centrípeta $ F_c $ é dada por:
onde $ m $ é a massa do objeto e $ \omega $ é a frequência angular que queremos encontrar.
Passo 4
No equilíbrio, a força centrípeta é igual à força que está agindo sobre o objeto para manter o movimento circular. Se considerarmos que a força envolvida é uma força restauradora proporcional a $ r(t) $, podemos escrever:
onde $ k $ é uma constante de proporcionalidade.
Passo 5
Igualando as duas expressões das forças para equilíbrio:
Aqui, $ r_0 $ cancela dos dois lados da equação, já que é constante e diferente de zero.
Passo 6
Simplificando a equação, temos:
Para encontrar $ \omega $, isolamos a variável:
Resposta
Existem soluções com $ r(t) = r_0 $ constante, e a frequência correspondente é $ \omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} $.