Se você deseja tirar uma foto de uma bala viajando a 500 \mathrm{~m} / \mathrm{s} um breve flash de luz produzido por uma descarga R C através de um tubo de flash pode limitar o desfocamento. Considere que 1,00 \mathrm{~mm} de movimento durante uma constante R C seja aceitável, e dado que o flash é acionado por um capacitor de 600 \mu \mathrm{~F}, qual é a resistência no tubo de flash?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Velocidade da bala: \,500\\ \mathrm{m/s}.
  • Movimento aceitável durante o pulso do flash: \,1{,}00\\ \mathrm{mm}.
  • Capacitância do capacitor que aciona o flash: \,600\\ \mu\mathrm{F}.
  • Pergunta: determinar a resistência \,R do circuito do tubo de flash que corresponde a esse tempo característico de descarga.

Passo 2

Primeiro convertemos unidades para manter tudo no SI e calculamos o tempo máximo permitido para que a bala se mova apenas \,1{,}00\\ \mathrm{mm}.
  • Converter distância: \,1{,}00\\ \mathrm{mm} = 1{,}00\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Tempo permitido t dado por movimento = velocidade \times tempo, logo
t = \frac{\text{distância}}{\text{velocidade}} = \frac{1{,}00\times 10^{-3}}{500}.â
Agora calculamos isso:
t = \frac{1{,}00\times 10^{-3}}{500} = 2{,}00\times 10^{-6}\\ \mathrm{s}.
Portanto o tempo máximo aceitável é \,2{,}00\\ \mu\mathrm{s}.

Passo 3

Explico o conceito físico que vamos usar (sem pular etapas):
  • Num circuito RC, a constante de tempo é \tau = R\,C.
  • A constante de tempo \tau é o tempo no qual a tensão no capacitor (ou a corrente) decai até 1/e (cerca de 37%) do valor inicial quando ocorre uma descarga exponencial. Em flashes, a maior parte da energia luminosa é emitida dentro de uma fração de alguns \tau. Uma aproximação usual para “duração efetiva” do flash é da ordem de uma constante de tempo \tau.
  • Aqui assumimos que escolher \tau igual ao tempo máximo calculado em que a bala só se desloca \,1{,}00\\ \mathrm{mm} é aceitável (ou seja, \tau \approx 2{,}00\\ \mu\mathrm{s}). Essa é a hipótese do problema.

Passo 4

Agora isolamos R da relação \tau = R\,C:
R = \frac{\tau}{C}.
Substituímos \tau = 2{,}00\times 10^{-6}\\ \mathrm{s} e C = 600\\ \mu\mathrm{F} = 600\times 10^{-6}\\ \mathrm{F} = 6{,}00\times 10^{-4}\\ \mathrm{F}. Então
R = \frac{2{,}00\times 10^{-6}}{6{,}00\times 10^{-4}}.
Fazendo a divisão passo a passo:
\frac{2{,}00}{6{,}00} = 0{,}333\ldots,\qquad 10^{-6}/10^{-4}=10^{-2},
portanto
R = 0{,}333\ldots\times 10^{-2}\\ \Omega = 3{,}33\times 10^{-3}\\ \Omega.
Em unidades mais usuais:
R \approx 3{,}33\\ \text{m}\Omega.

Passo 5

Interpretação e observação final (útil para a prova e entendimento):
  • O resultado é uma resistência muito pequena ( \sim 3{,}3\\ \text{m}\Omega), o que indica que, para ter \tau tão curto com uma capacitância tão grande, o circuito precisa conduzir muito bem — faz sentido físico visto que descargas rápidas exigem baixa resistência do tubo e dos cabos.
  • Se alguém perguntar por que usamos \tau como tempo do flash, responda que é uma aproximação padrão: a maior parte da energia é liberada em poucas constantes de tempo. Para ser mais rigoroso, poderia exigir uma fração específica da energia emitida e ajustar \tau em consequência, mas o enunciado já manda considerar “durante uma constante RC” como aceitável.

Resposta

\,R \approx 3{,}33\times 10^{-3}\\ \Omega

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