Você dispõe apenas do sinal u(t) e de manipulações de sinais (como, por exemplo, escala temporal, escala em amplitude, deslocamento temporal, integração, diferenciação, etc). A partir dessas premissas, represente os seguintes sinais.
x(t)=\operatorname{sign}(3 t)

Passo 1

O objetivo é representar
x(t)=\operatorname{sign}(3t)
apenas usando o sinal de degrau unitário u(t) e operações de escala temporal, inversão, escala em amplitude e soma.

Passo 2

Lembramos que o sinal de degrau satisfaz a propriedade de escala temporal para qualquer constante a>0:
u(a\,t)=u(t).
Além disso, a função sinal pode ser escrita em termos de u(t) como
\operatorname{sign}(t)=2\,u(t)-1,
pois para t>0 temos u(t)=1 e \operatorname{sign}(t)=1, e para t<0 temos u(t)=0 e \operatorname{sign}(t)=-1.

Passo 3

Aplicando a propriedade acima a t\mapsto3t, obtemos
\operatorname{sign}(3t)=2\,u(3t)-1.
Como 3>0, de fato u(3t)=u(t), mas a forma explícita usando a escala temporal é
\boxed{x(t)=2\,u(3t)-1.}

Resposta

x(t)=2\,u(3t)-1

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