Você é gerente de uma fábrica que produz motores por meio de equipes de trabalhadores que utilizam máquinas de montagem. A tecnologia pode ser resumida pela função de produção: \mathrm{q}=\mathrm{L}^{0,5} \mathrm{~K}, onde q é o número de motores produzidos por semana, L é o número de equipes de trabalho e K , o número de máquinas. Cada máquina é alugada ao custo, \mathrm{w}_{1}, de \ 20.000 por semana e cada equipe de trabalhadores custa\mathrm{w}_{2}=$20.000 por semana. O custo dos motores é dado pelo custo das máquinas e equipes de trabalho maiséá$ 4.000$ de matérias-primas por motor produzido. Sua fábrica possui 10 máquinas de montagem alugadas (curto prazo).
a) Qual a função de custo total de sua fábrica, isto é, quanto custa produzir q motores por semana? Quais são as funções de custo total médio, custo variável médio e custo marginal?
b) Quantos motores devem ser produzidos para a empresa operar com o menor custo total médio possível?
c) Supondo que sua empresa seja uma tomadora de preços (price taker) nesse mercado, se o preço de venda dos motores for de \mathrm{R} \ 20.000$, quantos motores deveriam ser produzidos por semana para maximizar o lucro? Qual será o lucro/prejuízo?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas (a, b e c).
Dados importantes:
\text{Função de produção: } q = L^{0,5}K.çãçã
\text{Custo por máquina (aluguel): } w_1 = \$20.000 \text{ por semana (cada máquina).}áá
\text{Custo por equipe de trabalho: } w_2 = \$20.000 \text{ por semana (cada equipe).}
\text{Custo de matérias-primas: } \$4.000 \text{ por motor produzido.}é
\text{Número de máquinas alugadas no curto prazo (fixo): } K=10.úá
Perguntas:
  1. (a) Qual a função do custo total TC(q) e quais são ATC(q), AVC(q) e MC(q)?
  2. (b) Quantos motores produzem o menor custo total médio (minimização de ATC)?
  3. (c) Se a firma é price taker com preço de venda \mathrm{R}\$\;20.000 por motor, qual a produção que maximiza lucro e qual será o lucro/prejuízo?

Passo 2

Primeiro passo técnico: com K=10 fixo, expresemos L em função de q. A produção é
q = L^{0,5}K = L^{0,5}\cdot 10.
Isolando L:
L^{0,5}=\frac{q}{10}\quad\Rightarrow\quad L=\left(\frac{q}{10}\right)^2=\frac{q^2}{100}.
Explicação didática: a raiz quadrada de L (isto é, L^{0,5}) multiplicada por 10 dá q. Para obter L, elevamos ambos os lados ao quadrado.

Passo 3

Agora calculemos os componentes de custo.
Custo das equipes (custo variável associado a L):
\text{Custo trabalho}=w_2\cdot L = \$20.000\cdot \frac{q^2}{100}.
Simplificando:
\$20.000\cdot \frac{q^2}{100} = \$200\cdot q^2.
Observação: \$20.000/100=\$200, e o resultado tem unidade de dólares por semana.
Custo das máquinas (fixo no curto prazo, pois K é fixo):
\text{Custo máquinas}=w_1\cdot K = \$20.000\cdot 10 = \$200.000.á
Custo de matérias-primas (variável, por unidade produzida):
\text{Custo matérias}= \$4.000\cdot q.é

Passo 4

Somando os componentes obtemos o custo total TC(q):
TC(q)=\underbrace{\$200.000}_{\text{fixo (máquinas)}}+\underbrace{\$200\,q^2}_{\text{trabalho}}+\underbrace{\$4.000\,q}_{\text{matérias}}.áé
Explicação: TC = custo fixo + custos variáveis. Aqui só trabalho e matérias são variáveis em q.

Passo 5

Custo total médio ATC(q) = TC(q)/q. Dividindo:
ATC(q)=\frac{TC(q)}{q}=\frac{\$200.000}{q}+\$200\,q+\$4.000.
Interpretação: \frac{\$200.000}{q} é o custo fixo médio (AFC), \$200\,q+\$4.000 é o custo variável médio (AVC).

Passo 6

Custo variável total VC(q) é trabalho mais matérias:
VC(q)=\$200\,q^2+\$4.000\,q.
Logo o custo variável médio AVC(q)=VC(q)/q é
AVC(q)=\frac{\$200\,q^2+\$4.000\,q}{q}=\$200\,q+\$4.000.
Comentário: AVC ignora os custos fixos e mostra o custo por unidade que varia com a produção.

Passo 7

Custo marginal MC(q) é a derivada do TC(q) em relação a q. Derivando
TC(q)=\$200.000+\$200\,q^2+\$4.000\,q
obtemos
MC(q)=\frac{dTC}{dq}=\$400\,q+\$4.000.
Interpretação: MC(q) é o custo de produzir uma unidade adicional.

Passo 8

Resumo das fórmulas (resposta da letra a, já encontrada):
TC(q)=\$200.000+\$200\,q^2+\$4.000\,q,
ATC(q)=\frac{\$200.000}{q}+\$200\,q+\$4.000,
AVC(q)=\$200\,q+\$4.000,
MC(q)=\$400\,q+\$4.000.

Passo 9

Agora (b): encontrar q que minimiza ATC(q). Procedimento: derivar ATC(q) e igualar a zero.
Derivada de ATC(q)=\$200.000\,q^{-1}+\$200\,q+\$4.000:
\frac{dATC}{dq}=-\frac{\$200.000}{q^2}+\$200.
Igualando a zero para encontrar extremo:
-\frac{\$200.000}{q^2}+\$200=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\$200.000}{q^2}=\$200.
Dividindo ambos os lados por $200:
\frac{200.000}{200}=q^2 \quad\Rightarrow\quad q^2=1.000.
Portanto,
q=\sqrt{1.000}=10\sqrt{10}\approx 31,62.
Verificação de mínimo: segunda derivada \frac{d^2ATC}{dq^2}= \frac{2\cdot\$200.000}{q^3}>0 para q>0, logo é mínimo.

Passo 10

Interpretação (b): a produção que minimiza o custo total médio no curto prazo é
q=10\sqrt{10}\approx 31,62\\ \text{motores por semana.}

Passo 11

Agora (c): preço de venda por motor \mathrm{R}\$\;20.000. Em concorrência perfeita, MR=p. Para máxima de lucro igualamos MC(p)=p.
Temos MC(q)=\$400\,q+\$4.000. Igualando a p=\$20.000:
\$20.000=\$400\,q+\$4.000.
Subtraindo \$4.000:
\$16.000=\$400\,q \quad\Rightarrow\quad q=\frac{16.000}{400}=40.
Logo a produção de lucro máximo é q=40 motores por semana.

Passo 12

Verificação de ponto de produzir (shutdown rule): comparar preço com AVC(q) em q=40.
AVC(40)=\$200\cdot 40+\$4.000=\$8.000+\$4.000=\$12.000 < \$20.000,
portanto o preço cobre o custo variável médio — a firma produz (não fecha).

Passo 13

Calculemos o lucro à produção q=40.
Receita total:
TR=p\cdot q=\$20.000\cdot 40=\$800.000.
Custo total:
TC(40)=\$200.000+\$200\cdot 40^2+\$4.000\cdot 40.
Calculemos passo a passo:
40^2=1.600,\quad \$200\cdot 1.600=\$320.000,
\$4.000\cdot 40=\$160.000.
Somando:
TC(40)=\$200.000+\$320.000+\$160.000=\$680.000.
Lucro:
\Pi = TR - TC = \$800.000 - \$680.000 = \$120.000.

Resposta

(a) TC(q)=\$200.000+\$200\,q^2+\$4.000\,q
ATC(q)=\dfrac{\$200.000}{q}+\$200\,q+\$4.000
AVC(q)=\$200\,q+\$4.000
MC(q)=\$400\,q+\$4.000
(b) q=10\sqrt{10}\approx 31,62 motores por semana
(c) q^*=40 motores por semana; lucro \Pi=\$120.000

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