Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \int_{0}^{2} \int_{0}{r{3}} r d z d r d \theta

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{2}\int_{0}^{r^{3}} r \, dz \, dr \, d\theta
e pede duas coisas: (1) esboçar (descrever) o sólido cujo volume é dado por essa integral; (2) calcular o volume (avaliar a integral).
Informações fornecidas extraídas da integral:
  • \theta varia de -\pi/2 a \pi/2.
  • r varia de 0 a 2.
  • z varia de 0 a r^{3}.
  • O integrando é r multiplicando dz\,dr\,d\theta.

Passo 2

O que significam r,\theta,z e por que aparece um fator r no integrando?
  • Em coordenadas cilíndricas temos as relações com coordenadas cartesianas: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV = r\,dz\,dr\,d\theta,
onde o fator r é a “Jacobian” que converte a pequena área na projeção radial dr\,d\theta em área física; intuitivamente uma faixa angular de largura d\theta e espessura radial dr tem comprimento aproximado r\,d\theta, daí surge o r.
Vou usar exatamente esse dV para interpretar e calcular o volume.

Passo 3

Interpretando os limites (descrição do sólido, esboço mental):
  • \theta\in[-\pi/2,\pi/2] corresponde ao semiplano com x\ge 0 (o semicírculo direito quando combinado com a restrição em r).
  • r\in[0,2] significa que a projeção no plano xy é o disco de raio 2 centrado na origem, mas restrita ao semicírculo direito por causa de \theta. Logo a base no plano z=0 é o semicírculo de raio 2 com x\ge0.
  • Para cada ponto da base (fixo r,\theta) temos z entre 0 e r^{3}. Portanto o topo do sólido é a superfície
z = r^{3}.
Convertendo para coordenadas cartesianas usando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} obtemos o topo
z = \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}.
Valores notáveis: em r=0 temos z=0; em r=2 temos z=2^{3}=8.
Esboço verbal: é um “cap” radialmente simétrico (dependendo só de r), apoiado sobre o semicírculo de raio 2 no plano z=0, crescendo como r^{3} até a altura 8 na borda circular de raio 2. Imagine um pote arredondado direito (mas cortado ao meio no plano x=0), cuja altura sobe rapidamente com r.

Passo 4

Começo o cálculo da integral fazendo a integral interna em z. Para r e \theta fixos,
\int_{0}^{r^{3}} r \, dz
é integral de uma constante r em relação a z. Então
\int_{0}^{r^{3}} r \, dz = r\bigl[z\bigr]_{0}^{r^{3}} = r\cdot r^{3} = r^{4}.
Explicação: integrar r em z apenas multiplica r pela largura do intervalo em z, que é r^{3}.

Passo 5

Agora integro em r a expressão obtida r^{4}:
\int_{0}^{2} r^{4} \, dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{5}}{5}-0 = \frac{32}{5}.
Comentário: usei a regra básica \int r^{n}\,dr = r^{n+1}/(n+1) para n\neq -1.

Passo 6

Finalmente integro em \theta. A expressão atual é constante em \theta, igual a \tfrac{32}{5}, então
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{32}{5} \, d\theta = \frac{32}{5}\bigl[\theta\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{32}{5}\left(\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = \frac{32}{5}\cdot \pi = \frac{32\pi}{5}.

Passo 7

Conclusão: o volume do sólido dado pela integral é \dfrac{32\pi}{5}. Relembre a descrição curta do sólido: é a região sobre o semicírculo de raio 2 (com x\ge0) e limitada superiormente pela superfície z=(x^{2}+y^{2})^{3/2}, com base z=0.

Resposta

Sólido: região sobre o semicírculo de raio 2 (para x\ge0) com topo z=(x^{2}+y^{2})^{3/2} e base z=0.
Volume: \displaystyle \frac{32\pi}{5}

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