Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \int_{0}^{2} \int_{0}{r{3}} r d z d r d \theta
\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \int_{0}^{2} \int_{0}{r{3}} r d z d r d \theta
Passo 1
O enunciado dá a integral
e pede duas coisas: (1) esboçar (descrever) o sólido cujo volume é dado por essa integral; (2) calcular o volume (avaliar a integral).
Informações fornecidas extraídas da integral:
Informações fornecidas extraídas da integral:
-
varia de a . -
varia de a . -
varia de a . - O integrando é
multiplicando .
Passo 2
O que significam
e por que aparece um fator
no integrando?
- Em coordenadas cilíndricas temos as relações com coordenadas cartesianas:
, , . - O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
onde o fator
é a “Jacobian” que converte a pequena área na projeção radial
em área física; intuitivamente uma faixa angular de largura
e espessura radial
tem comprimento aproximado
, daí surge o
.
Vou usar exatamente esse para interpretar e calcular o volume.
Vou usar exatamente esse
Passo 3
Interpretando os limites (descrição do sólido, esboço mental):
-
corresponde ao semiplano com (o semicírculo direito quando combinado com a restrição em ). -
significa que a projeção no plano é o disco de raio centrado na origem, mas restrita ao semicírculo direito por causa de . Logo a base no plano é o semicírculo de raio com . - Para cada ponto da base (fixo
) temos entre e . Portanto o topo do sólido é a superfície
Convertendo para coordenadas cartesianas usando
obtemos o topo
Valores notáveis: em
temos
; em
temos
.
Esboço verbal: é um “cap” radialmente simétrico (dependendo só de ), apoiado sobre o semicírculo de raio
no plano
, crescendo como
até a altura
na borda circular de raio
. Imagine um pote arredondado direito (mas cortado ao meio no plano
), cuja altura sobe rapidamente com
.
Esboço verbal: é um “cap” radialmente simétrico (dependendo só de
Passo 4
Começo o cálculo da integral fazendo a integral interna em
. Para
e
fixos,
é integral de uma constante
em relação a
. Então
Explicação: integrar
em
apenas multiplica
pela largura do intervalo em
, que é
.
Passo 5
Agora integro em
a expressão obtida
:
Comentário: usei a regra básica
para
.
Passo 6
Finalmente integro em
. A expressão atual é constante em
, igual a
, então
Passo 7
Conclusão: o volume do sólido dado pela integral é
. Relembre a descrição curta do sólido: é a região sobre o semicírculo de raio
(com
) e limitada superiormente pela superfície
, com base
.
Resposta
Sólido: região sobre o semicírculo de raio
(para
) com topo
e base
.
Volume:
Volume: