1. Você jogou uma moeda 100 vezes e obteve 77 caras e 23 coroas. Esse parece um resultado razoável? Que inferências você pode fazer do resultado?

Passo 1

O enunciado e os dados que temos:
  • Foi jogada uma moeda n=100 vezes.
  • Observou-se X=77 caras e 100-77=23 coroas.
    As perguntas implícitas são:
  • Esse resultado é compatível com a hipótese de que a moeda é justa (probabilidade de cara p=0,5)?
  • Que inferências podemos fazer sobre o parâmetro p (a probabilidade de dar cara) com base nesses dados?

Passo 2

Modelo probabilístico e quantidades sob a hipótese de moeda justa:
  • Para n lançamentos independentes de uma moeda com probabilidade de cara p, o número de caras X segue a distribuição binomial \mathrm{Bin}(n,p).
  • Sob a hipótese nula de moeda justa escrevemos H_0:\;p=0,5.
  • As fórmulas importantes para \mathrm{Bin}(n,p) são: \text{esperança: }\mathbb{E}[X]=n p, \qquad \text{variância: }\mathrm{Var}(X)=n p(1-p).çâ
  • Substituindo n=100 e p=0,5 obtemos: \mathbb{E}[X]=100\cdot 0,5=50, \qquad \mathrm{Var}(X)=100\cdot0,5\cdot0,5=25,e o desvio padrão \sigma=\sqrt{25}=5.

Passo 3

Estimativa pontual para p e seu significado:
  • A estimativa de máxima verossimilhança para p é a frequência observada \hat{p}=\frac{X}{n}=\frac{77}{100}=0,77.
  • Isso significa que, pelos dados, a melhor estimativa para a probabilidade de dar cara é \hat{p}=0,77.

Passo 4

Teste de hipótese usando aproximação normal (método básico e apropriado para n=100):
  • Pelo Teorema do Limite Central, para n grande a distribuição de X sob H_0 pode ser aproximada por uma normal com média 50 e desvio padrão 5.
  • Calculamos o escore padrão (z): z=\frac{X-\mathbb{E}[X]}{\sigma}=\frac{77-50}{5}=\frac{27}{5}=5,4.
  • O valor z=5,4 mede quantos desvios-padrão o observado X=77 está acima da média esperada 50 se a moeda fosse justa.

Passo 5

Cálculo do p‑valor e interpretação do p‑valor:
  • Para o teste bilateral (queremos saber se p difere de 0,5 em qualquer direção), o p‑valor é \text{p‑valor}=2\bigl(1-\Phi(|z|)\bigr),onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão.
  • Para z=5,4 a cauda superior 1-\Phi(5,4) é extremamente pequena; usando tabelas/ aproximações, 1-\Phi(5,4)\approx 3,4\times 10^{-8}.Logo \text{p‑valor}\approx 2\cdot 3,4\times 10^{-8}=6,8\times 10^{-8}.
  • Interpretação didática do p‑valor: este número é a probabilidade, sob a hipótese de moeda justa, de obter um resultado tão extremo quanto X=77 ou mais extremo. Aqui essa probabilidade é da ordem de 10^{-7}, i.e., virtualmente zero para critérios usuais (ex.: \alpha=0,05 ou \alpha=0,01).

Passo 6

Intervalo de confiança para p (outra inferência útil):
  • A estimativa \hat{p}=0,77 tem erro padrão dado por \mathrm{se}(\hat{p})=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\frac{0,77\cdot0,23}{100}}=\sqrt{0,001771}\approx 0,04208.
  • Um intervalo de confiança de 95\% para p usa o quantil z_{0,975}\approx 1,96: \text{margem} = 1,96\cdot 0,04208\approx 0,08245.Portanto o intervalo é \hat{p}\pm\text{margem = }0,77\pm0,08245,isto é aproximadamente (0,6876,\;0,8525).
  • Interpretação didática do intervalo: com 95\% de confiança, o verdadeiro p está entre cerca de 0,688 e 0,853 (se assumirmos condições do método), intervalo que não contém 0,5.

Passo 7

Resumo interpretativo (material didático sobre decisões):
  • Regra prática de teste: se o p‑valor for menor que o nível de significância escolhido (por exemplo \alpha=0,05), rejeitamos H_0 e concluímos que há evidência estatística de que p\neq 0,5.
  • Aqui o p‑valor é da ordem de 10^{-7}, muito menor que 0,05 ou 0,01; portanto há evidência estatística muito forte contra H_0.
  • O intervalo de confiança para p não inclui 0,5, reforçando que a estimativa de p está muito distante de 0,5.
  • Possíveis explicações práticas (que não são prova formal, mas hipóteses razoáveis): a moeda pode ser enviesada (probabilidade real de cara maior que 0,5), pode haver erro no experimento (registro errado, lançamentos não independentes, pessoa interferindo), ou houve fraude. Os dados sozinhos indicam viés, mas a causa prática precisa ser investigada.

Resposta

Não, o resultado não é razoável sob a hipótese de moeda justa; p‑valor \approx 6,8\times 10^{-8} (teste bilateral).
Estimativa pontual \hat{p}=0,77.
Intervalo de confiança de 95\% para p: aproximadamente (0,6876,\;0,8525).

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