- Você jogou uma moeda 100 vezes e obteve 77 caras e 23 coroas. Esse parece um resultado razoável? Que inferências você pode fazer do resultado?
Passo 1
O enunciado e os dados que temos:
- Foi jogada uma moeda
vezes. - Observou-se
caras e coroas.
As perguntas implícitas são: - Esse resultado é compatível com a hipótese de que a moeda é justa (probabilidade de cara
)? - Que inferências podemos fazer sobre o parâmetro
(a probabilidade de dar cara) com base nesses dados?
Passo 2
Modelo probabilístico e quantidades sob a hipótese de moeda justa:
- Para
lançamentos independentes de uma moeda com probabilidade de cara , o número de caras segue a distribuição binomial . - Sob a hipótese nula de moeda justa escrevemos
. - As fórmulas importantes para
são: - Substituindo
e obtemos: e o desvio padrão
Passo 3
Estimativa pontual para
e seu significado:
- A estimativa de máxima verossimilhança para
é a frequência observada - Isso significa que, pelos dados, a melhor estimativa para a probabilidade de dar cara é
.
Passo 4
Teste de hipótese usando aproximação normal (método básico e apropriado para
):
- Pelo Teorema do Limite Central, para
grande a distribuição de sob pode ser aproximada por uma normal com média e desvio padrão . - Calculamos o escore padrão (z):
- O valor
mede quantos desvios-padrão o observado está acima da média esperada 50 se a moeda fosse justa.
Passo 5
Cálculo do p‑valor e interpretação do p‑valor:
- Para o teste bilateral (queremos saber se
difere de em qualquer direção), o p‑valor é onde é a função distribuição acumulada da normal padrão. - Para
a cauda superior é extremamente pequena; usando tabelas/ aproximações, Logo - Interpretação didática do p‑valor: este número é a probabilidade, sob a hipótese de moeda justa, de obter um resultado tão extremo quanto
ou mais extremo. Aqui essa probabilidade é da ordem de , i.e., virtualmente zero para critérios usuais (ex.: ou ).
Passo 6
Intervalo de confiança para
(outra inferência útil):
- A estimativa
tem erro padrão dado por - Um intervalo de confiança de
para usa o quantil : Portanto o intervalo é isto é aproximadamente - Interpretação didática do intervalo: com
de confiança, o verdadeiro está entre cerca de e (se assumirmos condições do método), intervalo que não contém .
Passo 7
Resumo interpretativo (material didático sobre decisões):
- Regra prática de teste: se o p‑valor for menor que o nível de significância escolhido (por exemplo
), rejeitamos e concluímos que há evidência estatística de que . - Aqui o p‑valor é da ordem de
, muito menor que ou ; portanto há evidência estatística muito forte contra . - O intervalo de confiança para
não inclui , reforçando que a estimativa de está muito distante de . - Possíveis explicações práticas (que não são prova formal, mas hipóteses razoáveis): a moeda pode ser enviesada (probabilidade real de cara maior que
), pode haver erro no experimento (registro errado, lançamentos não independentes, pessoa interferindo), ou houve fraude. Os dados sozinhos indicam viés, mas a causa prática precisa ser investigada.
Resposta
Não, o resultado não é razoável sob a hipótese de moeda justa; p‑valor
(teste bilateral).
Estimativa pontual .
Intervalo de confiança de para
: aproximadamente
.
Estimativa pontual
Intervalo de confiança de