Você está projetando o conjunto de freios de disco de uma bicicleta. Numa estimativa inicial, a massa da bicicleta deve ser de até 20 kg e aro de 29 polegadas. Sabendo que seu projeto necessita atender ao requisito de frenagem da NBR 14868:2015, que os discos disponíveis no mercado são de 140,150 e 160 mm , projete os freios da bicicleta para utilizar o menor disco possivel e determine o tamanho das pastilhas de seção anelar. Sendo a espessura de qualquèr disco igual a 3 mm , aço com
e o calor específico a pressão constante
, calcule a maior elevação de temperatura no disco. Suponha
.
NBR 14868:2015
Distância máxima de
frenagem
Velocidade
inicial
Ambos os
freios
7 m
Freio
traseiro
15 m
| NBR 14868:2015 |
|
||||||
|
|
7 m | |||||
|
15 m | ||||||
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais:
- Projetar os freios para usar o menor disco comercial possível entre
, e , e determinar as dimensões das pastilhas de seção anelar (usar a razão dada). - Calcular a maior elevação de temperatura no disco, dado
, , (ou ).
Dados numéricos fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Massa total da bicicleta:
. - Aro:
polegadas (diâmetro da roda). - Velocidade inicial para o requisito da NBR:
. - Distância máxima de frenagem (ambos os freios):
. - Discos disponíveis:
. - Espessura disco:
. - Densidade do aço:
. - Calor específico:
. - Coeficiente de atrito (pastilha x disco):
. - Pressão máxima de contato:
. - Razão das diagonais do anel:
.
O que vamos fazer na resolução: converter unidades, calcular a desaceleração necessária a partir da fórmula cinemática, transformar força de frenagem em torque na roda, relacionar torque disponível do disco com pressão e geometria do anel (fazendo a integral da distribuição de pressão para obter o momento de atrito), comparar torque exigido com torque disponível para cada disco e escolher o menor que atende, calcular dimensões das pastilhas (diâmetros/lagura radial/área de contato) usando
, calcular massa do disco e então a elevação de temperatura assumindo conservação de energia (distribuição de energia discutida).
Passo 2
Converter velocidade inicial e calcular energia cinética (energia a ser dissipada na frenagem).
Converter
para
:
Energia cinética inicial da bicicleta (todo o sistema, assumimos o valor pedido para projeto):
Calculemos:
Comentário motivador: essa é a energia total que deve ser retirada da bicicleta durante a frenagem. Parte dela será convertida em calor nas superfícies de atrito (pastilhas e discos). Para estimar a pior elevação de temperatura no disco, vamos assumir o caso conservador onde essa energia toda é absorvida pelo(s) disco(s) (comentei alternativas quando necessário).
Passo 3
Calcular desaceleração e força de frenagem exigida a partir da distância de frenagem.
Usamos a relação cinemática sem aceleração variável:
Com
:
Força total de frenagem horizontal necessária:
Converter torque na roda: a força de frenagem no ponto de contato entre pneu e solo multiplicada pelo raio da roda dá o torque necessário nas rodas. A roda de
polegadas tem diâmetro
logo raio
Torque total requerido nos eixos (soma do torque nas duas rodas):
Se presumirmos que os dois freios (dianteiro e traseiro) contribuem igualmente, torque por roda:
Observação: esta divisão igualitária é uma hipótese de projeto simples (facilita cálculo). Mesmo que na prática o freio dianteiro entregue mais torque, para atender à NBR os dois freios trabalhando juntos devem parar em
; assim garantir que cada freio tenha capacidade (na média) suficiente é uma abordagem conservadora e simples.
Passo 4
Relação entre pressão de contato, geometria anelar e torque de frenagem disponível no disco — dedução da fórmula que vamos usar.
Considere um disco com face de contato em forma de anel entre raios
e
. Supondo pressão normal uniforme
sobre toda a área de contato em uma face (hipótese típica de projeto inicial), o atrito local é
e o momento diferencial é
. Em coordenadas polares,
. Integramos sobre
e
.
Momento gerado numa face:
Como há atrito em duas faces (pastilha em cada lado do disco), o momento total disponível do conjunto de pastilhas naquele disco é
Essa é a fórmula que usamos para comparar com o torque exigido
.
Passo 5
Substituir
(dado
) e quantificar a constante.
Temos
logo
Substituindo na expressão de
:
Defina a constante
Agora substituímos valores
e
:
Calculemos passo a passo:
(Arredondamento leve) Assim
Logo
Passo 6
Calcular o torque disponível para cada opção de disco e comparar com a necessidade
.
Para cada diâmetro
disponível,
. Vamos testar
primeiro (menor candidato):
- Para
:
Calculemos:
Comparação:
>>
. Ou seja, com as hipóteses dadas (pressão máxima
atuando sobre toda a área anelar e atrito
), um disco de
fornece muito mais torque do que o mínimo necessário para parar a bicicleta em
.
Se calcularmos para os outros diâmetros teremos torques ainda maiores (torque escala como
), então o menor disco
já é suficiente com muita folga. Portanto, o menor disco possível é
.
Comentário prático: o resultado muito maior que o necessário mostra que em projeto real outras limitações (capacidade de aplicação de pressão pela bomba/hidráulica, distribuição do atrito, limite de aderência pneu-solo) são relevantes; aqui usamos os dados fornecidos e a hipótese de pressão uniforme até
.
Passo 7
Determinar as dimensões da pastilha de seção anelar usando
e
.
Dados:
Raios:
Largura radial da pastilha (espessura do anel, do interior ao exterior em radial):
Área de contato (por face, anel completo em
):
Calcule:
Observações sobre a pastilha:
- A “seção anelar” pedida normalmente descreve a região radial onde a pastilha atua. Usando
definimos o anel completo. - Em aplicações reais as pastilhas não ocupam
do disco (têm extensão angular limitada), e a pressão pode não ser uniformemente em toda a área; aqui adotamos anel completo e pressão uniforme por simplicidade/hipótese de projeto inicial. - A espessura axial da pastilha de contato normalmente é maior que a espessura do disco (
), mas como o enunciado deu somente a espessura do disco, forneci a área de contato por face considerando espessura do disco apenas para volume do disco (próximo passo). Se desejar projetar a espessura da pastilha, seria preciso um dado adicional (espessura do material de atrito da pastilha).
Passo 8
Calcular massa do disco (material aço, espessura
) e a elevação de temperatura máxima.
Volume do disco (sólido anelar com espessura
):
Com
e
:
Massa do disco:
Agora a elevação de temperatura: se toda a energia cinética
for convertida em calor absorvido por um único disco (caso conservador de máxima elevação), então
Substituindo
,
,
:
Interpretação: no pior caso (todo o calor concentrado num só disco) a temperatura do disco subiria cerca de
.
Caso mais realista (ambos os discos compartilham igualmente a dissipação de energia), metade da energia vai para cada disco:
Comentário sobre hipóteses térmicas: aqui consideramos que TODO o calor gerado pela frenagem é instantaneamente absorvido pelo(s) disco(s) (e permaneça internamente — sem perdas por convecção, condução para cubo/rádiação, etc.) — isto é conservador para estimar uma elevação rápida imediata. Na prática, parte significativa do calor também vai para pastilhas, cubo, arrefecimento convectivo durante a frenagem, etc., então a elevação real costuma ser ainda menor.
Passo 9
Resumindo as conclusões de projeto e números chave (para checar rapidamente em prova):
- O menor disco disponível (
) já fornece muito mais torque do que o necessário com as hipóteses dadas (pressão uniforme e atrito ), logo pode ser escolhido. - Pastilha de seção anelar definida pelos diâmetros
e : para , temos , largura radial e área de contato por face . - Massa de um disco (aço,
): . - Elevação de temperatura máxima (caso conservador, toda a energia para um disco):
. Se a energia for repartida igualmente entre os dois discos, .
Força final de incentivo: dá pra concluir que com os parâmetros dados o projeto é tranquilo — a elevação térmica é pequena e o disco de
é suficiente. Se quiser eu calculo também torque disponível considerando que a pad não cobre
(ou seja, área angular menor), ou fazer a distribuição de energia entre disco e pastilha de modo mais realista — é só pedir que eu faço o complemento.
Resposta
Escolher o menor disco:
.
Pastilhas (seção anelar) para
:
, largura radial
, área de contato por face
.
Massa do disco (aço,
):
.
Maior elevação de temperatura no disco:
- Caso conservador (toda energia em 1 disco):
. - Caso mais realista (energia dividida igualmente entre 2 discos):
.