(3,0) Você está projetando o conjunto de freios de disco de uma bicicleta. Numa estimativa inicial, a massa da bicicleta deve ser de até 20 kg e aro de 29 polegadas. Sabendo que seu projeto necessita atender ao requisito de frenagem da NBR 14868:2015, que os discos disponíveis no mercado são de 140,150 e 160 mm , projete os freios da bicicleta para utilizar o menor disco possivel e determine o tamanho das pastilhas de seção anelar. Sendo a espessura de qualquèr disco igual a 3 mm , aço com 7850 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e o calor específico a pressão constante 0,447 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}, calcule a maior elevação de temperatura no disco. Suponha \mathrm{f}=0,41, \mathrm{p}_{\text {max }}=3,0 \mathrm{MPa}, \mathrm{d} / \mathrm{D}=0,6.
NBR 14868:2015
Distância máxima de
frenagem
Velocidade
inicial
25 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
Ambos os
freios
7 m
Freio
traseiro
15 m

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. Projetar os freios para usar o menor disco comercial possível entre 140, 150 e 160\\ \mathrm{mm}, e determinar as dimensões das pastilhas de seção anelar (usar a razão d/D=0{,}6 dada).
  2. Calcular a maior elevação de temperatura no disco, dado \text{espessura do disco}=3\\ \mathrm{mm}, \rho_{\text{aço}}=7850\\ \mathrm{kg/m^3}ç, c_p=0{,}447\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (ou 447\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}).
Dados numéricos fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Massa total da bicicleta: m=20\\ \mathrm{kg}.
  • Aro: 29 polegadas (diâmetro da roda).
  • Velocidade inicial para o requisito da NBR: 25\\ \mathrm{km/h}.
  • Distância máxima de frenagem (ambos os freios): s=7\\ \mathrm{m}.
  • Discos disponíveis: D=140,\;150,\;160\\ \mathrm{mm}.
  • Espessura disco: t=3\\ \mathrm{mm}.
  • Densidade do aço: \rho=7850\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Calor específico: c_p=447\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Coeficiente de atrito (pastilha x disco): f=0{,}41.
  • Pressão máxima de contato: p_{\max}=3{,}0\\ \mathrm{MPa}=3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Razão das diagonais do anel: d/D=0{,}6.
O que vamos fazer na resolução: converter unidades, calcular a desaceleração necessária a partir da fórmula cinemática, transformar força de frenagem em torque na roda, relacionar torque disponível do disco com pressão e geometria do anel (fazendo a integral da distribuição de pressão para obter o momento de atrito), comparar torque exigido com torque disponível para cada disco e escolher o menor que atende, calcular dimensões das pastilhas (diâmetros/lagura radial/área de contato) usando d/D=0{,}6, calcular massa do disco e então a elevação de temperatura assumindo conservação de energia (distribuição de energia discutida).

Passo 2

Converter velocidade inicial e calcular energia cinética (energia a ser dissipada na frenagem).
Converter 25\\ \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}:
v_0 = 25\\ \mathrm{km/h} = 25\cdot\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = 6{,}944444\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Energia cinética inicial da bicicleta (todo o sistema, assumimos o valor pedido para projeto):
E_k = \tfrac{1}{2} m v_0^2.
Calculemos:
v_0^2 = (6{,}944444\ldots)^2 \approx 48{,}225\\ \mathrm{m^2/s^2},
E_k = \tfrac{1}{2}\cdot 20\cdot 48{,}225 \approx 482{,}25\\ \mathrm{J}.
Comentário motivador: essa é a energia total que deve ser retirada da bicicleta durante a frenagem. Parte dela será convertida em calor nas superfícies de atrito (pastilhas e discos). Para estimar a pior elevação de temperatura no disco, vamos assumir o caso conservador onde essa energia toda é absorvida pelo(s) disco(s) (comentei alternativas quando necessário).

Passo 3

Calcular desaceleração e força de frenagem exigida a partir da distância de frenagem.
Usamos a relação cinemática sem aceleração variável:
v_0^2 = 2 a s \quad\Rightarrow\quad a = \frac{v_0^2}{2s}.
Com s=7\\ \mathrm{m}:
a = \frac{48{,}225}{2\cdot 7} = \frac{48{,}225}{14} \approx 3{,}4446\\ \mathrm{m/s^2}.
Força total de frenagem horizontal necessária:
F_{\text{total}} = m a = 20\cdot 3{,}4446 \approx 68{,}89\\ \mathrm{N}.
Converter torque na roda: a força de frenagem no ponto de contato entre pneu e solo multiplicada pelo raio da roda dá o torque necessário nas rodas. A roda de 29 polegadas tem diâmetro
D_{\text{roda}} = 29\\ \text{in}\cdot 0{,}0254\\ \mathrm{m/in} = 0{,}7366\\ \mathrm{m},
logo raio
R_{\text{roda}} = 0{,}3683\\ \mathrm{m}.
Torque total requerido nos eixos (soma do torque nas duas rodas):
T_{\text{total}} = F_{\text{total}}\cdot R_{\text{roda}} \approx 68{,}89\cdot 0{,}3683 \approx 25{,}36\\ \mathrm{N\cdot m}.
Se presumirmos que os dois freios (dianteiro e traseiro) contribuem igualmente, torque por roda:
T_{\text{por\\ roda}} = \frac{T_{\text{total}}}{2} \approx 12{,}68\\ \mathrm{N\cdot m}.
Observação: esta divisão igualitária é uma hipótese de projeto simples (facilita cálculo). Mesmo que na prática o freio dianteiro entregue mais torque, para atender à NBR os dois freios trabalhando juntos devem parar em 7\\ \mathrm{m}; assim garantir que cada freio tenha capacidade (na média) suficiente é uma abordagem conservadora e simples.

Passo 4

Relação entre pressão de contato, geometria anelar e torque de frenagem disponível no disco — dedução da fórmula que vamos usar.
Considere um disco com face de contato em forma de anel entre raios r_i e r_o. Supondo pressão normal uniforme p sobre toda a área de contato em uma face (hipótese típica de projeto inicial), o atrito local é \mathrm{d}F = f\,p\,\mathrm{d}A e o momento diferencial é \mathrm{d}M = f\,p\,r\,\mathrm{d}A. Em coordenadas polares, \mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta. Integramos sobre \theta\in[0,2\pi] e r\in[r_i,r_o].
Momento gerado numa face:
M_{\text{uma face}} = f p \int_{0}^{2\pi}\int_{r_i}^{r_o} r \cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = f p \cdot 2\pi \int_{r_i}^{r_o} r^2 \mathrm{d}r = f p \cdot 2\pi \left[\frac{r^3}{3}\right]_{r_i}^{r_o} = \frac{2\pi f p}{3} \left(r_o^3 - r_i^3\right).
Como há atrito em duas faces (pastilha em cada lado do disco), o momento total disponível do conjunto de pastilhas naquele disco é
M_{\text{total}} = 2 M_{\text{uma face}} = \frac{4\pi f p}{3}\left(r_o^3 - r_i^3\right).
Essa é a fórmula que usamos para comparar com o torque exigido T_{\text{por\\ roda}}.

Passo 5

Substituir r_i = 0{,}6\, r_o (dado d/D=0{,}6) e quantificar a constante.
Temos r_i = 0{,}6\,r_o logo
r_o^3 - r_i^3 = r_o^3\bigl(1 - 0{,}6^3\bigr) = r_o^3(1 - 0{,}216)=0{,}784\, r_o^3.
Substituindo na expressão de M_{\text{total}}:
M_{\text{total}} = \frac{4\pi f p}{3}\cdot 0{,}784\, r_o^3.
Defina a constante
C = \frac{4\pi f p}{3}\cdot 0{,}784.
Agora substituímos valores f=0{,}41 e p=p_{\max}=3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}:
C = \frac{4\pi}{3}\cdot 0{,}784\cdot 0{,}41\cdot 3{,}0\times10^{6}.
Calculemos passo a passo:
\frac{4\pi}{3}\approx 4{,}18879,\qquad 4{,}18879\cdot 0{,}784\approx 3{,}283. 3{,}283\cdot 0{,}41\approx 1{,}345, \qquad 1{,}345\cdot 3{,}0\times10^{6}\approx 4{,}035\times10^{6}.
(Arredondamento leve) Assim
C \approx 4{,}039\times10^{6}\\ \mathrm{N/m^2\cdot m^3} = 4{,}039\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot m^{-3}}.
Logo
M_{\text{total}} \approx 4{,}039\times10^{6}\, r_o^3.

Passo 6

Calcular o torque disponível para cada opção de disco e comparar com a necessidade T_{\text{por\\ roda}}\approx 12{,}68\\ \mathrm{N\cdot m}.
Para cada diâmetro D disponível, r_o = D/2. Vamos testar D=140\\ \mathrm{mm} primeiro (menor candidato):
  • Para D=140\\ \mathrm{mm}=0{,}140\\ \mathrm{m}:
r_o = 0{,}070\\ \mathrm{m}.
M_{\text{total}} \approx 4{,}039\times10^{6}\times (0{,}070)^3 =4{,}039\times10^{6}\times 3{,}43\times10^{-4} \approx 4{,}039\times10^{6}\times 3{,}43\times10^{-4}.
Calculemos:
(0{,}070)^3 = 0{,}000343 = 3{,}43\times10^{-4},
M_{\text{total}} \approx 4{,}039\times10^{6}\cdot 3{,}43\times10^{-4} \approx 1386\\ \mathrm{N\cdot m}.
Comparação: M_{\text{total}}\approx 1386\\ \mathrm{N\cdot m} >> T_{\text{por\\ roda}}\approx 12{,}68\\ \mathrm{N\cdot m}. Ou seja, com as hipóteses dadas (pressão máxima p_{\max} atuando sobre toda a área anelar e atrito f), um disco de 140\\ \mathrm{mm} fornece muito mais torque do que o mínimo necessário para parar a bicicleta em 7\\ \mathrm{m}.
Se calcularmos para os outros diâmetros teremos torques ainda maiores (torque escala como r_o^3), então o menor disco D=140\\ \mathrm{mm} já é suficiente com muita folga. Portanto, o menor disco possível é 140\\ \mathrm{mm}.
Comentário prático: o resultado muito maior que o necessário mostra que em projeto real outras limitações (capacidade de aplicação de pressão pela bomba/hidráulica, distribuição do atrito, limite de aderência pneu-solo) são relevantes; aqui usamos os dados fornecidos e a hipótese de pressão uniforme até p_{\max}.

Passo 7

Determinar as dimensões da pastilha de seção anelar usando D=140\\ \mathrm{mm} e d/D=0{,}6.
Dados:
D = 140\\ \mathrm{mm} = 0{,}140\\ \mathrm{m}, \qquad d = 0{,}6 D = 84\\ \mathrm{mm} = 0{,}084\\ \mathrm{m}.
Raios:
r_o = \frac{D}{2} = 0{,}070\\ \mathrm{m},\qquad r_i = \frac{d}{2} = 0{,}042\\ \mathrm{m}.
Largura radial da pastilha (espessura do anel, do interior ao exterior em radial):
w_{\text{radial}} = r_o - r_i = 0{,}028\\ \mathrm{m} = 28\\ \mathrm{mm}.
Área de contato (por face, anel completo em 360^\circ):
A_{\text{face}} = \pi\left(r_o^2 - r_i^2\right).
Calcule:
r_o^2 = 0{,}07^2 = 0{,}0049,\qquad r_i^2 = 0{,}042^2 = 0{,}001764,
r_o^2 - r_i^2 = 0{,}003136,
A_{\text{face}} = \pi\cdot 0{,}003136 \approx 0{,}009847\\ \mathrm{m^2} \approx 98{,}5\\ \mathrm{cm^2}.
Observações sobre a pastilha:
  • A “seção anelar” pedida normalmente descreve a região radial onde a pastilha atua. Usando d/D=0{,}6 definimos o anel completo.
  • Em aplicações reais as pastilhas não ocupam 360^\circ do disco (têm extensão angular limitada), e a pressão pode não ser uniformemente p_{\max} em toda a área; aqui adotamos anel completo e pressão uniforme por simplicidade/hipótese de projeto inicial.
  • A espessura axial da pastilha de contato normalmente é maior que a espessura do disco ( 3\\ \mathrm{mm}), mas como o enunciado deu somente a espessura do disco, forneci a área de contato por face considerando espessura do disco apenas para volume do disco (próximo passo). Se desejar projetar a espessura da pastilha, seria preciso um dado adicional (espessura do material de atrito da pastilha).

Passo 8

Calcular massa do disco (material aço, espessura t=3\\ \mathrm{mm}) e a elevação de temperatura máxima.
Volume do disco (sólido anelar com espessura t):
V_{\text{disco}} = A_{\text{face}}\cdot t = \pi\left(r_o^2 - r_i^2\right) t.
Com A_{\text{face}}\approx 0{,}009847\\ \mathrm{m^2} e t=0{,}003\\ \mathrm{m}:
V_{\text{disco}} \approx 0{,}009847\cdot 0{,}003 = 2{,}954\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^3}.
Massa do disco:
m_{\text{disco}} = \rho\, V_{\text{disco}} = 7850\cdot 2{,}954\times 10^{-5} \approx 0{,}2319\\ \mathrm{kg}\approx 232\\ \mathrm{g}.
Agora a elevação de temperatura: se toda a energia cinética E_k for convertida em calor absorvido por um único disco (caso conservador de máxima elevação), então
\Delta T_{\text{máx,1 disco}} = \frac{E_k}{m_{\text{disco}}\; c_p}.á
Substituindo E_k\approx 482{,}25\\ \mathrm{J}, m_{\text{disco}}\approx 0{,}2319\\ \mathrm{kg}, c_p=447\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}:
m_{\text{disco}} c_p \approx 0{,}2319\cdot 447 \approx 103{,}6\\ \mathrm{J/K},
\Delta T_{\text{máx,1 disco}} \approx \frac{482{,}25}{103{,}6} \approx 4{,}656\\ \mathrm{K}.á
Interpretação: no pior caso (todo o calor concentrado num só disco) a temperatura do disco subiria cerca de 4{,}66^\circ\mathrm{C}.
Caso mais realista (ambos os discos compartilham igualmente a dissipação de energia), metade da energia vai para cada disco:
E_{\text{por disco}}=\frac{E_k}{2}\approx 241{,}125\\ \mathrm{J},
\Delta T_{\text{cada disco}} \approx \frac{241{,}125}{103{,}6} \approx 2{,}328\\ \mathrm{K}.
Comentário sobre hipóteses térmicas: aqui consideramos que TODO o calor gerado pela frenagem é instantaneamente absorvido pelo(s) disco(s) (e permaneça internamente — sem perdas por convecção, condução para cubo/rádiação, etc.) — isto é conservador para estimar uma elevação rápida imediata. Na prática, parte significativa do calor também vai para pastilhas, cubo, arrefecimento convectivo durante a frenagem, etc., então a elevação real costuma ser ainda menor.

Passo 9

Resumindo as conclusões de projeto e números chave (para checar rapidamente em prova):
  • O menor disco disponível ( D=140\\ \mathrm{mm}) já fornece muito mais torque do que o necessário com as hipóteses dadas (pressão uniforme p_{\max} e atrito f), logo pode ser escolhido.
  • Pastilha de seção anelar definida pelos diâmetros d=0{,}6D e D: para D=140\\ \mathrm{mm}, temos d=84\\ \mathrm{mm}, largura radial 28\\ \mathrm{mm} e área de contato por face A_{\text{face}}\approx 0{,}009847\\ \mathrm{m^2}.
  • Massa de um disco (aço, t=3\\ \mathrm{mm}): m_{\text{disco}}\approx 0{,}2319\\ \mathrm{kg}.
  • Elevação de temperatura máxima (caso conservador, toda a energia para um disco): \Delta T\approx 4{,}66\\ \mathrm{K}. Se a energia for repartida igualmente entre os dois discos, \Delta T\approx 2{,}33\\ \mathrm{K}.
Força final de incentivo: dá pra concluir que com os parâmetros dados o projeto é tranquilo — a elevação térmica é pequena e o disco de 140\\ \mathrm{mm} é suficiente. Se quiser eu calculo também torque disponível considerando que a pad não cobre 360^\circ (ou seja, área angular menor), ou fazer a distribuição de energia entre disco e pastilha de modo mais realista — é só pedir que eu faço o complemento.

Resposta

Escolher o menor disco: D=140\\ \mathrm{mm}.
Pastilhas (seção anelar) para D=140\\ \mathrm{mm}:
d=84\\ \mathrm{mm}, largura radial w_{\text{radial}}=28\\ \mathrm{mm}, área de contato por face A_{\text{face}}\approx 0{,}009847\\ \mathrm{m^2}.
Massa do disco (aço, t=3\\ \mathrm{mm}): m_{\text{disco}}\approx 0{,}2319\\ \mathrm{kg}.
Maior elevação de temperatura no disco:
  • Caso conservador (toda energia em 1 disco): \Delta T\approx 4{,}66\\ \mathrm{K}.
  • Caso mais realista (energia dividida igualmente entre 2 discos): \Delta T\approx 2{,}33\\ \mathrm{K}.

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