Você recebe um amplificador operacional ideal e três resistores de
. Usando combinações de resistores em série e paralelo, quantas topologias diferentes de circuito amplificador inversor são possíveis? Qual é a maior magnitude de ganho de tensão disponível (não infinita)? Qual é a menor magnitude de ganho disponível (diferente de zero)? Quais são as resistências de entrada nesses dois casos?
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes itens e pede coisas bem específicas.
-
Itens fornecidos:
- Um amplificador operacional ideal em configuração inversora.
- Três resistores idênticos de
cada.
-
O que é pedido:
- Quantas topologias diferentes de circuito amplificador inversor são possíveis, se só se podem usar combinações dos três resistores em série e paralelo (ou deixar algum sem usar)?
- Qual a maior magnitude de ganho de tensão disponível (ignorando o caso “infinito”)?
- Qual a menor magnitude de ganho disponível (diferente de zero)?
- Quais são as resistências de entrada (
) nos casos do maior e do menor ganho (ou nos casos que atingem esses extremos)?
Observações explícitas que vou usar depois: cada resistência do amplificador inversor é formada usando um subconjunto dos três resistores; não se podem reutilizar fisicamente o mesmo resistor em duas posições simultaneamente. Vou assumir que é permitido deixar algum resistor sem usar.
Passo 2
Relembrando a fórmula básica e o que significa cada termo (aula rápida, sem pânico).
- Para um amplificador operacional ideal em configuração inversora vale a relação
onde:
-
é o ganho em tensão (pode ser negativo; aqui a pergunta pede magnitude), -
é a resistência de realimentação (feedback) entre saída e entrada inversora, -
é a resistência de entrada entre fonte e entrada inversora.
Portanto a magnitude do ganho é
Conclusão prática: para maximizar
quero o maior
possível e/ou o menor
possível, dentro das combinações permitidas; para minimizar
(mas não zerá-lo) quero o menor
possível e/ou o maior
possível.
Passo 3
Como combinar três resistores iguais (
) em série e paralelo — valores possíveis que surgem ao usar 1 ou 2 resistores.
- Um resistor sozinho:
. - Dois em série:
. - Dois em paralelo:
.
Observação: usar três resistores todos juntos para formar uma só resistência (por exemplo
em série, ou
etc.) não é útil se precisar também de outra resistência distinta para a outra posição, porque restaria 0 resistor para a segunda resistência. Como precisamos de duas resistências não-nulas (
e
), as partições possíveis dos 3 resistores entre as duas posições são:
- dois subconjuntos não vazios: tamanhos possíveis
(ou simetricamente ); - ou usar dois resistores (um em cada posição) e deixar um sobrando: tamanhos
com um resistor não usado.
Passo 4
Enumerando topologias distintas (considerando qual grupo de resistores forma
e qual forma
; duas topologias que dão o mesmo
ainda são topologias diferentes se a distribuição física for distinta).
Possibilidades práticas com 3 resistores idênticos:
-
Usar dois resistores como resistências simples (cada uma com 1 resistor) e deixar um resistor sem usar:
-
. - Gera
.
-
-
Partição
com o par de 2 conectado em série (20 kΩ): - Caso 2a:
. - Caso 2b (troca):
.
- Caso 2a:
-
Partição
com o par de 2 em paralelo (5 kΩ): - Caso 3a:
. - Caso 3b (troca):
.
- Caso 3a:
Contando topologias distintas listadas: 1 (ambos singles) + 2 (série com duas possibilidades de quem recebe o par) + 2 (paralelo com duas possibilidades) = 5 topologias distintas.
Passo 5
Calcular explicitamente os ganhos (magnitudes) e anotar
em cada topo — resumo:
- Topologia A (dois singles, um sobrando):
- Topologia B (par de 2 em série como
): - Topologia C (par de 2 em série como
): - Topologia D (par de 2 em paralelo como
): - Topologia E (par de 2 em paralelo como
):
Agora, dos valores obtidos:
- As magnitudes de ganho possíveis estão entre
. - A maior magnitude (não infinita) é
. - A menor magnitude (diferente de zero) é
.
As resistências de entrada correspondentes:
- Casos que atingem
: ocorrem para e também para . Logo ou (duas topologias). - Casos que atingem
: ocorrem para e para . Logo ou .
Resposta
Número de topologias diferentes:
Maior magnitude de ganho disponível (não infinita):
Resistências de entrada nos casos que dão
:
ou
Menor magnitude de ganho disponível (diferente de zero):
Resistências de entrada nos casos que dão
:
ou