Você recebe um amplificador operacional ideal e três resistores de 10 \mathrm{k} \Omega. Usando combinações de resistores em série e paralelo, quantas topologias diferentes de circuito amplificador inversor são possíveis? Qual é a maior magnitude de ganho de tensão disponível (não infinita)? Qual é a menor magnitude de ganho disponível (diferente de zero)? Quais são as resistências de entrada nesses dois casos?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes itens e pede coisas bem específicas.
  • Itens fornecidos:
    • Um amplificador operacional ideal em configuração inversora.
    • Três resistores idênticos de 10\\ \mathrm{k}\Omega cada.
  • O que é pedido:
    1. Quantas topologias diferentes de circuito amplificador inversor são possíveis, se só se podem usar combinações dos três resistores em série e paralelo (ou deixar algum sem usar)?
    2. Qual a maior magnitude de ganho de tensão disponível (ignorando o caso “infinito”)?
    3. Qual a menor magnitude de ganho disponível (diferente de zero)?
    4. Quais são as resistências de entrada ( R_{\text{in}}) nos casos do maior e do menor ganho (ou nos casos que atingem esses extremos)?
Observações explícitas que vou usar depois: cada resistência do amplificador inversor é formada usando um subconjunto dos três resistores; não se podem reutilizar fisicamente o mesmo resistor em duas posições simultaneamente. Vou assumir que é permitido deixar algum resistor sem usar.

Passo 2

Relembrando a fórmula básica e o que significa cada termo (aula rápida, sem pânico).
  • Para um amplificador operacional ideal em configuração inversora vale a relação
A_v = \frac{v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}} = -\frac{R_f}{R_{\text{in}}},
onde:
  • A_v é o ganho em tensão (pode ser negativo; aqui a pergunta pede magnitude),
  • R_f é a resistência de realimentação (feedback) entre saída e entrada inversora,
  • R_{\text{in}} é a resistência de entrada entre fonte e entrada inversora.
Portanto a magnitude do ganho é
|A_v| = \frac{R_f}{R_{\text{in}}}.
Conclusão prática: para maximizar |A_v| quero o maior R_f possível e/ou o menor R_{\text{in}} possível, dentro das combinações permitidas; para minimizar |A_v| (mas não zerá-lo) quero o menor R_f possível e/ou o maior R_{\text{in}} possível.

Passo 3

Como combinar três resistores iguais ( R_0 = 10\\ \mathrm{k}\Omega) em série e paralelo — valores possíveis que surgem ao usar 1 ou 2 resistores.
  • Um resistor sozinho: R = 10\\ \mathrm{k}\Omega.
  • Dois em série: R_{\text{series}} = R_0 + R_0 = 20\\ \mathrm{k}\Omega.
  • Dois em paralelo: \displaystyle R_{\text{parallel}} = \frac{R_0\cdot R_0}{R_0+R_0} = \frac{R_0}{2} = 5\\ \mathrm{k}\Omega.
Observação: usar três resistores todos juntos para formar uma só resistência (por exemplo 30\\ \mathrm{k}\Omega em série, ou \frac{10\cdot10\cdot10}{\text{combinação}}çã etc.) não é útil se precisar também de outra resistência distinta para a outra posição, porque restaria 0 resistor para a segunda resistência. Como precisamos de duas resistências não-nulas ( R_{\text{in}} e R_f), as partições possíveis dos 3 resistores entre as duas posições são:
  • dois subconjuntos não vazios: tamanhos possíveis (1,2) (ou simetricamente (2,1));
  • ou usar dois resistores (um em cada posição) e deixar um sobrando: tamanhos (1,1) com um resistor não usado.

Passo 4

Enumerando topologias distintas (considerando qual grupo de resistores forma R_{\text{in}} e qual forma R_f; duas topologias que dão o mesmo R_f/R_{\text{in}} ainda são topologias diferentes se a distribuição física for distinta).
Possibilidades práticas com 3 resistores idênticos:
  1. Usar dois resistores como resistências simples (cada uma com 1 resistor) e deixar um resistor sem usar:
    • R_{\text{in}}=10\\ \mathrm{k}\Omega,\quad R_f=10\\ \mathrm{k}\Omega.
    • Gera |A_v|=1.
  2. Partição (1,2) com o par de 2 conectado em série (20 kΩ):
    • Caso 2a: R_{\text{in}}=10\\ \mathrm{k}\Omega,\; R_f=20\\ \mathrm{k}\Omega \Rightarrow |A_v|=2.
    • Caso 2b (troca): R_{\text{in}}=20\\ \mathrm{k}\Omega,\; R_f=10\\ \mathrm{k}\Omega \Rightarrow |A_v|=0{,}5.
  3. Partição (1,2) com o par de 2 em paralelo (5 kΩ):
    • Caso 3a: R_{\text{in}}=10\\ \mathrm{k}\Omega,\; R_f=5\\ \mathrm{k}\Omega \Rightarrow |A_v|=0{,}5.
    • Caso 3b (troca): R_{\text{in}}=5\\ \mathrm{k}\Omega,\; R_f=10\\ \mathrm{k}\Omega \Rightarrow |A_v|=2.
Contando topologias distintas listadas: 1 (ambos singles) + 2 (série com duas possibilidades de quem recebe o par) + 2 (paralelo com duas possibilidades) = 5 topologias distintas.

Passo 5

Calcular explicitamente os ganhos (magnitudes) e anotar R_{\text{in}} em cada topo — resumo:
  • Topologia A (dois singles, um sobrando): R_{\text{in}}=10\\ \mathrm{k}\Omega,\; R_f=10\\ \mathrm{k}\Omega \Rightarrow |A_v|=1.
  • Topologia B (par de 2 em série como R_f): R_{\text{in}}=10\\ \mathrm{k}\Omega,\; R_f=20\\ \mathrm{k}\Omega \Rightarrow |A_v|=2.
  • Topologia C (par de 2 em série como R_{\text{in}}): R_{\text{in}}=20\\ \mathrm{k}\Omega,\; R_f=10\\ \mathrm{k}\Omega \Rightarrow |A_v|=0{,}5.
  • Topologia D (par de 2 em paralelo como R_f): R_{\text{in}}=10\\ \mathrm{k}\Omega,\; R_f=5\\ \mathrm{k}\Omega \Rightarrow |A_v|=0{,}5.
  • Topologia E (par de 2 em paralelo como R_{\text{in}}): R_{\text{in}}=5\\ \mathrm{k}\Omega,\; R_f=10\\ \mathrm{k}\Omega \Rightarrow |A_v|=2.
Agora, dos valores obtidos:
  • As magnitudes de ganho possíveis estão entre 0{,}5,\\\ 1,\\\ 2.
  • A maior magnitude (não infinita) é |A_v|_{\max}=2.
  • A menor magnitude (diferente de zero) é |A_v|_{\min}=0{,}5.
As resistências de entrada correspondentes:
  • Casos que atingem |A_v|=2: ocorrem para (R_{\text{in}},R_f)=(10\\ \mathrm{k}\Omega,20\\ \mathrm{k}\Omega) e também para (5\\ \mathrm{k}\Omega,10\\ \mathrm{k}\Omega). Logo R_{\text{in}}=10\\ \mathrm{k}\Omega ou 5\\ \mathrm{k}\Omega (duas topologias).
  • Casos que atingem |A_v|=0{,}5: ocorrem para (R_{\text{in}},R_f)=(20\\ \mathrm{k}\Omega,10\\ \mathrm{k}\Omega) e para (10\\ \mathrm{k}\Omega,5\\ \mathrm{k}\Omega). Logo R_{\text{in}}=20\\ \mathrm{k}\Omega ou 10\\ \mathrm{k}\Omega.

Resposta

Número de topologias diferentes: 5
Maior magnitude de ganho disponível (não infinita): |A_v|_{\max}=2
Resistências de entrada nos casos que dão |A_v|=2: R_{\text{in}}=10\\ \mathrm{k}\Omega ou R_{\text{in}}=5\\ \mathrm{k}\Omega
Menor magnitude de ganho disponível (diferente de zero): |A_v|_{\min}=0{,}5
Resistências de entrada nos casos que dão |A_v|=0{,}5: R_{\text{in}}=20\\ \mathrm{k}\Omega ou R_{\text{in}}=10\\ \mathrm{k}\Omega

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