Você tem duas esferas, ambas carregadas com carga total Q. Uma delas é oca e a outra é maciça, sendo que em ambas as esferas a carga está distribuída uniformemente. Podemos afirmar que o campo elétrico num ponto qualquer, não necessariamente no centro… (note que mais de uma alternativa pode ser verdadeira).
Escolha uma ou mais:
□ a. é diferente de zero no interior da esfera maciça mas continua zero na esfera oca.
□ b. tem o mesmo valor para ambas as esferas quando a esfera é vista do lado de fora.
□ c. é diferente de zero na esfera oca e nulo na esfera maciça
□ d. é diferente de zero em ambas as esferas
□ a. é diferente de zero no interior da esfera maciça mas continua zero na esfera oca.
□ b. tem o mesmo valor para ambas as esferas quando a esfera é vista do lado de fora.
□ c. é diferente de zero na esfera oca e nulo na esfera maciça
□ d. é diferente de zero em ambas as esferas
Passo 1
O enunciado nos dá duas esferas, cada uma com carga total
. Uma é oca (esfera-espaço vazio no interior) e a outra é maciça (esfera sólida), e em ambas a carga está distribuída uniformemente. O que se pede é escolher quais das alternativas (a), (b), (c), (d) são verdadeiras simultaneamente. Informações relevantes que vou usar (inferidas do enunciado):
- Ambas as esferas têm a mesma carga total
e o mesmo raio (assumo mesmo raio para comparar interior/externo). - Na esfera maciça a carga está distribuída uniformemente por volume (densidade de carga
constante). - Na esfera oca a carga está distribuída uniformemente sobre a casca esférica (densidade superficial
constante). - As questões perguntam sobre o valor do campo elétrico
em pontos quaisquer (dentro e fora das esferas), e se é nulo ou diferente de zero.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar: Lei de Gauss, muito útil para problemas com simetria esférica. A Lei de Gauss diz:
onde
é a carga total contida dentro da superfície gaussiana
, e
é a permissividade do vácuo. Para uma situação com simetria esférica (campo radial e mesmo em todas as direções a uma dada distância
do centro) podemos escolher
como uma esfera de raio
. Então o lado esquerdo vira
e temos
Ou seja: tudo depende de quanto da carga total está dentro da esfera de raio
.
Passo 3
Campo fora das esferas (
). Para ambas as esferas, qualquer superfície gaussiana esférica de raio
contém toda a carga
. Logo, aplicando a expressão acima:
Interpretação: para observadores do lado de fora, cada esfera se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro — o campo é idêntico para a esfera oca e para a maciça. Isso responde diretamente à alternativa (b): ela é verdadeira.
Passo 4
Campo no interior da esfera oca (
). Para a casca esférica com carga uniformemente distribuída sobre a superfície, qualquer superfície gaussiana de raio
não engloba carga alguma (
), porque toda a carga está na casca externa de raio
. Pela Lei de Gauss:
Conclusão: o campo elétrico é nulo em qualquer ponto do interior da esfera oca. Isso confirma parte da alternativa (a) (a esfera oca tem campo interno igual a zero).
Passo 5
Campo no interior da esfera maciça uniformemente carregada (
). Primeiro calcule a densidade volumétrica de carga
. O volume da esfera é
, logo
A carga contida numa esfera de raio
(a carga “encapsulada” pela superfície gaussiana) é o volume interno vezes
:
Aplicando Gauss para
:
Portanto
cresce linearmente com
dentro da esfera maciça e é diferente de zero para
. Observação no centro (
) o campo é zero por simetria, mas para todo
o campo é não nulo. Isso confirma a outra parte da alternativa (a): a esfera maciça tem campo interno diferente de zero (exceto no próprio centro).
Passo 6
Compare as alternativas com os resultados:
- (a) “é diferente de zero no interior da esfera maciça mas continua zero na esfera oca.” — verdadeiro, porque vimos
(não nulo para ) e para . - (b) “tem o mesmo valor para ambas as esferas quando a esfera é vista do lado de fora.” — verdadeiro, pois para
ambas têm . - (c) “é diferente de zero na esfera oca e nulo na esfera maciça” — falso; é justamente o contrário (em geral).
- (d) “é diferente de zero em ambas as esferas” — falso se a leitura for sobre o interior: a oca tem interior com
, então não é diferente de zero em ambas.
Passo 7
Intuição física curta e reforço: a simetria esférica faz com que as contribuições de cargas da casca se cancelem no interior (resultando em
dentro da casca). Já na esfera sólida, parte da carga está dentro do raio
e produz campo; quanto mais próximo do centro menor a carga interna, por isso
cresce com
até atingir o valor de superfície e depois decai como
. Isso é um resultado clássico e frequentemente usado em provas — decorando a forma do campo dentro da esfera maciça e o fato de que casca esférica cria campo interno zero resolve muitos exercícios rápido.
Resposta
a
b
b