Você tem duas esferas, ambas carregadas com carga total Q. Uma delas é oca e a outra é maciça, sendo que em ambas as esferas a carga está distribuída uniformemente. Podemos afirmar que o campo elétrico num ponto qualquer, não necessariamente no centro… (note que mais de uma alternativa pode ser verdadeira).
Escolha uma ou mais:
□ a. é diferente de zero no interior da esfera maciça mas continua zero na esfera oca.
□ b. tem o mesmo valor para ambas as esferas quando a esfera é vista do lado de fora.
□ c. é diferente de zero na esfera oca e nulo na esfera maciça
□ d. é diferente de zero em ambas as esferas

Passo 1

O enunciado nos dá duas esferas, cada uma com carga total \,Q\,. Uma é oca (esfera-espaço vazio no interior) e a outra é maciça (esfera sólida), e em ambas a carga está distribuída uniformemente. O que se pede é escolher quais das alternativas (a), (b), (c), (d) são verdadeiras simultaneamente. Informações relevantes que vou usar (inferidas do enunciado):
  • Ambas as esferas têm a mesma carga total \,Q e o mesmo raio \,R (assumo mesmo raio para comparar interior/externo).
  • Na esfera maciça a carga está distribuída uniformemente por volume (densidade de carga \rho constante).
  • Na esfera oca a carga está distribuída uniformemente sobre a casca esférica (densidade superficial \sigma constante).
  • As questões perguntam sobre o valor do campo elétrico \mathbf{E} em pontos quaisquer (dentro e fora das esferas), e se é nulo ou diferente de zero.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar: Lei de Gauss, muito útil para problemas com simetria esférica. A Lei de Gauss diz:
\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície gaussiana S, e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Para uma situação com simetria esférica (campo radial e mesmo em todas as direções a uma dada distância r do centro) podemos escolher S como uma esfera de raio r. Então o lado esquerdo vira E(r)\cdot 4\pi r^2 e temos
E(r)=\frac{Q_{\text{int}}}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.
Ou seja: tudo depende de quanto da carga total está dentro da esfera de raio r.

Passo 3

Campo fora das esferas ( r>R). Para ambas as esferas, qualquer superfície gaussiana esférica de raio r>R contém toda a carga Q. Logo, aplicando a expressão acima:
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\qquad (r>R).
Interpretação: para observadores do lado de fora, cada esfera se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro — o campo é idêntico para a esfera oca e para a maciça. Isso responde diretamente à alternativa (b): ela é verdadeira.

Passo 4

Campo no interior da esfera oca ( r<R). Para a casca esférica com carga uniformemente distribuída sobre a superfície, qualquer superfície gaussiana de raio r<R não engloba carga alguma ( Q_{\text{int}}=0), porque toda a carga está na casca externa de raio R. Pela Lei de Gauss:
E(r)=\frac{0}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=0\qquad (r<R,\\ \text{esfera oca}).
Conclusão: o campo elétrico é nulo em qualquer ponto do interior da esfera oca. Isso confirma parte da alternativa (a) (a esfera oca tem campo interno igual a zero).

Passo 5

Campo no interior da esfera maciça uniformemente carregada ( r<R). Primeiro calcule a densidade volumétrica de carga \rho. O volume da esfera é \tfrac{4}{3}\pi R^3, logo
\rho=\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}=\frac{3Q}{4\pi R^3}.
A carga contida numa esfera de raio r<R (a carga “encapsulada” pela superfície gaussiana) é o volume interno vezes \rho:
Q_{\text{int}}(r)=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{3Q}{4\pi R^3}\cdot\frac{4}{3}\pi r^3=Q\frac{r^3}{R^3}.
Aplicando Gauss para r<R:
E(r)=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q\,r^3/R^3}{r^2} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q\,r}{R^3}.
Portanto E(r) cresce linearmente com r dentro da esfera maciça e é diferente de zero para 0<r<R. Observação no centro ( r=0) o campo é zero por simetria, mas para todo 0<r<R o campo é não nulo. Isso confirma a outra parte da alternativa (a): a esfera maciça tem campo interno diferente de zero (exceto no próprio centro).

Passo 6

Compare as alternativas com os resultados:
  • (a) “é diferente de zero no interior da esfera maciça mas continua zero na esfera oca.” — verdadeiro, porque vimos E_{\text{maciça}}(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q\,r}{R^3}ç (não nulo para 0<r<R) e E_{\text{oca}}(r)=0 para r<R.
  • (b) “tem o mesmo valor para ambas as esferas quando a esfera é vista do lado de fora.” — verdadeiro, pois para r>R ambas têm E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r^2}.
  • (c) “é diferente de zero na esfera oca e nulo na esfera maciça” — falso; é justamente o contrário (em geral).
  • (d) “é diferente de zero em ambas as esferas” — falso se a leitura for sobre o interior: a oca tem interior com E=0, então não é diferente de zero em ambas.

Passo 7

Intuição física curta e reforço: a simetria esférica faz com que as contribuições de cargas da casca se cancelem no interior (resultando em E=0 dentro da casca). Já na esfera sólida, parte da carga está dentro do raio r e produz campo; quanto mais próximo do centro menor a carga interna, por isso E cresce com r até atingir o valor de superfície e depois decai como 1/r^2. Isso é um resultado clássico e frequentemente usado em provas — decorando a forma do campo dentro da esfera maciça e o fato de que casca esférica cria campo interno zero resolve muitos exercícios rápido.

Resposta

a
b

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