Você tem duas esferas, ambas carregadas com carga total Q. Uma delas é oca e a outra é maciça, sendo que em ambas as esferas a carga está distribuída uniformemente. Podemos afirmar que o campo elétrico no centro geométrico…
Escolha uma opção:
◯ a. é nulo em ambas as esferas.
◯ b. é nulo na esfera oca e diferente de zero na esfera maciça.
◯ c. é nulo na esfera maciça e diferente de zero na esfera oca.
◯ d. é diferente de zero nas duas esferas.
◯ a. é nulo em ambas as esferas.
◯ b. é nulo na esfera oca e diferente de zero na esfera maciça.
◯ c. é nulo na esfera maciça e diferente de zero na esfera oca.
◯ d. é diferente de zero nas duas esferas.
Passo 1
O enunciado fornece duas esferas, cada uma com carga total
. Uma esfera é oca (uma casca esférica) e a outra é maciça (esfera de material preenchido), e em ambas a carga está distribuída uniformemente. A pergunta é: o campo elétrico no centro geométrico de cada esfera é nulo ou diferente de zero? O enunciado pede que escolha uma das opções (a), (b), (c) ou (d).
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicados devagarinho):
- O campo elétrico
num ponto é um vetor que representa a força por unidade de carga de prova colocada ali. Tem direção e módulo. - A Lei de Gauss em eletrostática diz:
onde
é uma superfície fechada,
é o elemento de área apontando para fora,
é a carga total dentro da superfície e
é a permissividade do vácuo. Nesta fórmula:
-
é o fluxo do campo elétrico através de . -
é a carga envolvida pela superfície. - Simetria esférica: se a distribuição de carga é esfericamente simétrica (isto é, depende apenas da distância ao centro), então o campo elétrico em qualquer ponto a uma dada distância
do centro deve ser radial (apontando para fora ou para dentro) e ter o mesmo módulo para todos os pontos com a mesma . Isso permite usar uma esfera concêntrica como superfície de Gauss e simplificar a integral.
Passo 3
Aplicação à esfera oca (casca esférica) com carga uniformemente distribuída na casca:
- Escolha como superfície de Gauss uma esfera de raio
centrada no centro geométrico, com menor que o raio da casca (ou seja, uma esfera totalmente dentro do vazio interior). - A carga total dentro dessa superfície é
, porque toda a carga está na casca fora da superfície escolhida (peguei a informação do enunciado: a casca é oca e a carga está na casca). - Pela Lei de Gauss:
- Pela simetria esférica,
sobre a superfície de Gauss tem direção radial e mesmo módulo em toda a superfície, então a integral vira
- Em particular, no centro geométrico (que corresponde a
) o campo elétrico é . Outra forma intuitiva: para cada elemento de carga numa direção existe um elemento idêntico diametralmente oposto cuja contribuição vetorial se cancela, então a soma vetorial dá zero.
Passo 4
Aplicação à esfera maciça (distribuição de carga volumétrica uniforme):
- Defina o raio da esfera como
. A densidade volumétrica de carga é
pois o volume da esfera é
.
- Para achar o campo a uma distância
do centro, com , use uma superfície de Gauss esférica de raio . A carga dentro desta superfície é a carga ocupando o volume de raio :
- Pela Lei de Gauss:
- Isolando
:
- Substitua
se quiser:
- Observação importante: este
é proporcional a . Assim, ao aproximar-se do centro, , o campo tende a zero. No próprio centro temos . Alternativamente, pelo argumento de simetria (não existe direção preferencial no centro), as contribuições vetoriais se cancelam, então o campo no centro é nulo.
Passo 5
Conclusão e interpretação final:
- Para a casca esférica oca com carga uniformemente distribuída na casca, o campo elétrico no interior (e portanto no centro) é zero por Gauss e simetria.
- Para a esfera maciça com carga volumétrica uniformemente distribuída, o campo elétrico no centro também é zero; a expressão para
dentro da esfera mostra que . - Portanto o campo elétrico no centro geométrico é nulo em ambas as esferas.
Resposta
(a)