Você tem duas esferas, ambas carregadas com carga total Q. Uma delas é oca e a outra é maciça, sendo que em ambas as esferas a carga está distribuída uniformemente. Podemos afirmar que o campo elétrico no centro geométrico…
Escolha uma opção:
◯ a. é nulo em ambas as esferas.
◯ b. é nulo na esfera oca e diferente de zero na esfera maciça.
◯ c. é nulo na esfera maciça e diferente de zero na esfera oca.
◯ d. é diferente de zero nas duas esferas.

Passo 1

O enunciado fornece duas esferas, cada uma com carga total Q. Uma esfera é oca (uma casca esférica) e a outra é maciça (esfera de material preenchido), e em ambas a carga está distribuída uniformemente. A pergunta é: o campo elétrico no centro geométrico de cada esfera é nulo ou diferente de zero? O enunciado pede que escolha uma das opções (a), (b), (c) ou (d).

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicados devagarinho):
  • O campo elétrico \vec{E} num ponto é um vetor que representa a força por unidade de carga de prova colocada ali. Tem direção e módulo.
  • A Lei de Gauss em eletrostática diz:
\oint_{\mathcal{S}} \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde \mathcal{S} é uma superfície fechada, d\vec{A} é o elemento de área apontando para fora, Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Nesta fórmula:
  • \oint_{\mathcal{S}} \vec{E}\cdot d\vec{A} é o fluxo do campo elétrico através de \mathcal{S}.
  • Q_{\text{int}} é a carga envolvida pela superfície.
  • Simetria esférica: se a distribuição de carga é esfericamente simétrica (isto é, depende apenas da distância ao centro), então o campo elétrico em qualquer ponto a uma dada distância r do centro deve ser radial (apontando para fora ou para dentro) e ter o mesmo módulo para todos os pontos com a mesma r. Isso permite usar uma esfera concêntrica como superfície de Gauss e simplificar a integral.

Passo 3

Aplicação à esfera oca (casca esférica) com carga uniformemente distribuída na casca:
  • Escolha como superfície de Gauss uma esfera de raio r centrada no centro geométrico, com r menor que o raio da casca (ou seja, uma esfera totalmente dentro do vazio interior).
  • A carga total dentro dessa superfície é Q_{\text{int}}=0, porque toda a carga está na casca fora da superfície escolhida (peguei a informação do enunciado: a casca é oca e a carga está na casca).
  • Pela Lei de Gauss:
\oint_{\mathcal{S}} \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{0}{\varepsilon_0}=0.
  • Pela simetria esférica, \vec{E} sobre a superfície de Gauss tem direção radial e mesmo módulo E(r) em toda a superfície, então a integral vira
E(r)\cdot 4\pi r^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad E(r)=0.
  • Em particular, no centro geométrico (que corresponde a r=0) o campo elétrico é \vec{E}=\vec{0}. Outra forma intuitiva: para cada elemento de carga numa direção existe um elemento idêntico diametralmente oposto cuja contribuição vetorial se cancela, então a soma vetorial dá zero.

Passo 4

Aplicação à esfera maciça (distribuição de carga volumétrica uniforme):
  • Defina o raio da esfera como R. A densidade volumétrica de carga é
\rho = \frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^3},
pois o volume da esfera é \tfrac{4}{3}\pi R^3.
  • Para achar o campo a uma distância r do centro, com 0\le r\le R, use uma superfície de Gauss esférica de raio r. A carga dentro desta superfície é a carga ocupando o volume de raio r:
Q_{\text{int}}(r) = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3.
  • Pela Lei de Gauss:
E(r)\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0} = \frac{\rho \cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3}{\varepsilon_0}.
  • Isolando E(r):
E(r) = \frac{\rho \cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3}{4\pi \varepsilon_0 r^2} = \frac{\rho\, r}{3\varepsilon_0}.
  • Substitua \rho se quiser:
E(r)=\frac{1}{3\varepsilon_0}\cdot\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}\,r = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{r}{R^3}.
  • Observação importante: este E(r) é proporcional a r. Assim, ao aproximar-se do centro, r\to 0, o campo tende a zero. No próprio centro r=0 temos E(0)=0. Alternativamente, pelo argumento de simetria (não existe direção preferencial no centro), as contribuições vetoriais se cancelam, então o campo no centro é nulo.

Passo 5

Conclusão e interpretação final:
  • Para a casca esférica oca com carga uniformemente distribuída na casca, o campo elétrico no interior (e portanto no centro) é zero por Gauss e simetria.
  • Para a esfera maciça com carga volumétrica uniformemente distribuída, o campo elétrico no centro também é zero; a expressão para E(r) dentro da esfera mostra que E(0)=0.
  • Portanto o campo elétrico no centro geométrico é nulo em ambas as esferas.

Resposta

(a)

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