Um volante de 500 m de diâmetro está partindo uniformemente do repouso atingindo uma velocidade de 300 RPM em 20 segundos. Econtre a velocidade e a aceleração de um ponto na borda do volante 2 segundos depois de sair do repouso.
Passo 1
Vamos clarear exatamente o que o enunciado dá e o que pede, sem pressa — só o essencial. \n
Dado: \n
Dado: \n
- Diâmetro do volante:
. \n - Parte do repouso e atinge
em . \n
Pedido: \n - Encontrar a velocidade linear (tangencial) de um ponto na borda do volante
após o início do movimento. \n - Encontrar a aceleração desse mesmo ponto
após o início do movimento. \n
Informações úteis que já consigo extrair do enunciado: \n - Raio do volante:
. (peguei do dado do diâmetro) \n - O volante acelera de forma uniforme (ou seja, aceleração angular constante), partindo do repouso. Portanto podemos usar as fórmulas de cinemática rotacional com aceleração angular constante.
Passo 2
Converter a velocidade final dada em
para rad/s e calcular a aceleração angular média (que aqui é a aceleração angular constante). \n
Primeiro, converter para rad/s: \n
Primeiro, converter
A aceleração angular
(variação de velocidade angular por tempo) é dada por
. Como partiu do repouso (
) e atingiu
em
, temos: \n
Numérica aproximada (só para ter sensação de escala):
Passo 3
Calcular a velocidade angular
no instante
. \n
Usamos a equação da cinemática angular para aceleração constante: . Como
, \n
Usamos a equação da cinemática angular para aceleração constante:
Aproximação numérica:
Passo 4
Converter a velocidade angular em velocidade linear tangencial do ponto da borda (o que o enunciado chama “velocidade de um ponto na borda”). \n
A relação entre velocidade tangencial e velocidade angular
é
, onde
é o raio (distância do ponto ao eixo). Já temos
e
, então: \n
A relação entre velocidade tangencial
Aproximação numérica:
Passo 5
Entender e calcular as componentes da aceleração de um ponto na borda. (Aqui é importante: aceleração tem duas componentes distintas.) \n
Quando um corpo se move em trajetória circular com velocidade que muda de módulo e de direção, sua aceleração tem duas componentes perpendiculares: \n
Quando um corpo se move em trajetória circular com velocidade que muda de módulo e de direção, sua aceleração tem duas componentes perpendiculares: \n
- componente tangencial
(responsável pela variação do módulo da velocidade): . \n - componente radial (centrípeta)
(responsável pela variação da direção da velocidade, aponta para o centro): . \n
Vamos calcular cada uma no instante. \n
Tangencial:
Aproximação:
\n
Centrípeta (radial):
Aproximação:
Passo 6
Calcular a aceleração total (módulo) combinando as duas componentes perpendiculares. \n
Como e
são perpendiculares, o módulo da aceleração resultante é
. Substituindo as expressões exatas: \n
Como
Aproximação numérica:
\n
(se quiser o ângulo que a aceleração faz com a direção radial: medido a partir da direção radial para fora, indicando que a aceleração está quase radial, um pouco inclinada na direção tangencial por causa da aceleração angular).
(se quiser o ângulo que a aceleração faz com a direção radial:
Passo 7
Recapitulando de forma limpa (valores exatos e aproximações), para você levar direto pra prova: \n
- Velocidade angular em
: \n - Velocidade tangencial do ponto na borda em
: \n - Componentes da aceleração em
: \n - Módulo da aceleração resultante: