Um volante de 500 m de diâmetro está partindo uniformemente do repouso atingindo uma velocidade de 300 RPM em 20 segundos. Econtre a velocidade e a aceleração de um ponto na borda do volante 2 segundos depois de sair do repouso.

Passo 1

Vamos clarear exatamente o que o enunciado dá e o que pede, sem pressa — só o essencial. \n
Dado: \n
  • Diâmetro do volante: \,500\\ \mathrm{m}\,. \n
  • Parte do repouso e atinge \,300\\ \mathrm{RPM}\, em \,20\\ \mathrm{s}\,. \n
    Pedido: \n
  • Encontrar a velocidade linear (tangencial) de um ponto na borda do volante \,2\\ \mathrm{s}\, após o início do movimento. \n
  • Encontrar a aceleração desse mesmo ponto \,2\\ \mathrm{s}\, após o início do movimento. \n
    Informações úteis que já consigo extrair do enunciado: \n
  • Raio do volante: \,r=\dfrac{500}{2}=250\\ \mathrm{m}\,. (peguei do dado do diâmetro) \n
  • O volante acelera de forma uniforme (ou seja, aceleração angular constante), partindo do repouso. Portanto podemos usar as fórmulas de cinemática rotacional com aceleração angular constante.

Passo 2

Converter a velocidade final dada em \,\mathrm{RPM}\, para rad/s e calcular a aceleração angular média (que aqui é a aceleração angular constante). \n
Primeiro, converter \,300\\ \mathrm{RPM}\, para rad/s: \n
300\\ \mathrm{RPM} = \frac{300}{60}\\ \mathrm{rev/s} = 5\\ \mathrm{rev/s}
\text{cada rotação tem }2\pi\\ \text{rad, logo}\quad \omega_{\text{final}} = 5\cdot 2\pi = 10\pi\\ \mathrm{rad/s}.çã
A aceleração angular \,\alpha\, (variação de velocidade angular por tempo) é dada por \displaystyle \alpha=\frac{\Delta \omega}{\Delta t}. Como partiu do repouso ( \omega_0=0) e atingiu \omega_{\text{final}}=10\pi\\ \mathrm{rad/s} em \Delta t=20\\ \mathrm{s}, temos: \n
\alpha = \frac{10\pi - 0}{20} = \frac{10\pi}{20} = \frac{\pi}{2}\\ \mathrm{rad/s^2}.
Numérica aproximada (só para ter sensação de escala): \displaystyle \alpha\approx 1,5708\\ \mathrm{rad/s^2}.

Passo 3

Calcular a velocidade angular \omega no instante \,t=2\\ \mathrm{s}\,. \n
Usamos a equação da cinemática angular para aceleração constante: \displaystyle \omega(t)=\omega_0+\alpha t. Como \omega_0=0, \n
\omega(2)=\alpha\cdot 2 = \frac{\pi}{2}\cdot 2 = \pi\\ \mathrm{rad/s}.
Aproximação numérica: \displaystyle \omega(2)\approx 3,1416\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Converter a velocidade angular em velocidade linear tangencial do ponto da borda (o que o enunciado chama “velocidade de um ponto na borda”). \n
A relação entre velocidade tangencial v e velocidade angular \omega é \displaystyle v=\omega r, onde r é o raio (distância do ponto ao eixo). Já temos r=250\\ \mathrm{m} e \omega(2)=\pi\\ \mathrm{rad/s}, então: \n
v(2)=\omega(2)\,r = \pi\cdot 250 = 250\pi\\ \mathrm{m/s}.
Aproximação numérica: \displaystyle v(2)\approx 785,398\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Entender e calcular as componentes da aceleração de um ponto na borda. (Aqui é importante: aceleração tem duas componentes distintas.) \n
Quando um corpo se move em trajetória circular com velocidade que muda de módulo e de direção, sua aceleração tem duas componentes perpendiculares: \n
  • componente tangencial \,a_t\, (responsável pela variação do módulo da velocidade): \displaystyle a_t=\alpha\,r. \n
  • componente radial (centrípeta) \,a_r\, (responsável pela variação da direção da velocidade, aponta para o centro): \displaystyle a_r=\omega^2\,r. \n
    Vamos calcular cada uma no instante t=2\\ \mathrm{s}. \n
Tangencial: a_t=\alpha\,r=\frac{\pi}{2}\cdot 250 =125\pi\\ \mathrm{m/s^2}.
Aproximação: \displaystyle a_t\approx 392,699\\ \mathrm{m/s^2}. \n
Centrípeta (radial): a_r=\omega(2)^2\,r = \pi^2\cdot 250 =250\pi^2\\ \mathrm{m/s^2}.
Aproximação: \displaystyle a_r\approx 2467,401\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

Calcular a aceleração total (módulo) combinando as duas componentes perpendiculares. \n
Como \,a_t\, e \,a_r\, são perpendiculares, o módulo da aceleração resultante é \displaystyle a=\sqrt{a_r^{2}+a_t^{2}}. Substituindo as expressões exatas: \n
a=\sqrt{(250\pi^2)^2 + (125\pi)^2} = 125\pi\sqrt{1+4\pi^2}.
Aproximação numérica: \displaystyle a\approx 2498,453\\ \mathrm{m/s^2}. \n
(se quiser o ângulo que a aceleração faz com a direção radial: \displaystyle \theta=\arctan\!\big(\tfrac{a_t}{a_r}\big)\approx 9,04^\circ medido a partir da direção radial para fora, indicando que a aceleração está quase radial, um pouco inclinada na direção tangencial por causa da aceleração angular).

Passo 7

Recapitulando de forma limpa (valores exatos e aproximações), para você levar direto pra prova: \n
  • Velocidade angular em t=2\\ \mathrm{s}: \displaystyle \omega(2)=\pi\\ \mathrm{rad/s}. \n
  • Velocidade tangencial do ponto na borda em t=2\\ \mathrm{s}: \displaystyle v(2)=250\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 785,398\\ \mathrm{m/s}. \n
  • Componentes da aceleração em t=2\\ \mathrm{s}: \displaystyle a_t=125\pi\\ \mathrm{m/s^2}\approx 392,699\\ \mathrm{m/s^2},\quad a_r=250\pi^2\\ \mathrm{m/s^2}\approx 2467,401\\ \mathrm{m/s^2}. \n
  • Módulo da aceleração resultante: \displaystyle a=125\pi\sqrt{1+4\pi^2}\\ \mathrm{m/s^2}\approx 2498,453\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

\displaystyle v(2)=250\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 785,398\\ \mathrm{m/s} \n
\displaystyle a(2)=125\pi\sqrt{1+4\pi^2}\\ \mathrm{m/s^2}\approx 2498,453\\ \mathrm{m/s^2}

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