Um corpo de prova cilíndrico, com diâmetro de 15 cm e altura de 20 cm , é comprimido axialmente por uma carga de 20 kN , causando uma redução no comprimento de -1 mm e um aumento no diâmetro de 0,24 \mathrm{~mm}. Determine o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material. Resposta: E=226,36 \mathrm{MPa} e \nu=0,32

Passo 1

Entender o que o problema dá e o que pede. Dados do enunciado:
\text{diâmetro inicial } d=15\\ \text{cm} = 150\\ \text{mm},â
\text{altura (comprimento) inicial } L=20\\ \text{cm} = 200\\ \text{mm},
\text{carga axial } F=20\\ \text{kN}=20000\\ \text{N},
\text{variação do comprimento } \Delta L=-1\\ \text{mm},çã
\text{variação do diâmetro } \Delta d=+0,24\\ \text{mm}.çãâ
O que nos pedem: o módulo de elasticidade E do material e o coeficiente de Poisson \nu.

Passo 2

Calcular a deformação axial (strain axial). Conceito: a deformação axial \varepsilon_{\text{axial}} é a variação relativa do comprimento, dada por
\varepsilon_{\text{axial}}=\frac{\Delta L}{L},
onde \Delta L é a mudança no comprimento e L é o comprimento inicial. Substituindo os valores (convertidos para a mesma unidade, aqui mm):
\varepsilon_{\text{axial}}=\frac{-1\\ \mathrm{mm}}{200\\ \mathrm{mm}}=-0,005.
Explicação didática: o sinal negativo indica encurtamento (compressão). Em provas, calcule sempre \Delta L e divida pelo L inicial.

Passo 3

Calcular a deformação transversal (strain lateral). Conceito: a deformação lateral \varepsilon_{\text{lat}} é a variação relativa da dimensão lateral (aqui o diâmetro), dada por
\varepsilon_{\text{lat}}=\frac{\Delta d}{d}.
Substituindo:
\varepsilon_{\text{lat}}=\frac{0,24\\ \mathrm{mm}}{150\\ \mathrm{mm}}=0,0016.
Didática: a deformação lateral é positiva se a peça aumenta de diâmetro (como ocorreu aqui, porque comprimimos axialmente).

Passo 4

Calcular o coeficiente de Poisson \nu. Conceito: Poisson relaciona a deformação lateral com a axial por
\nu=-\frac{\varepsilon_{\text{lat}}}{\varepsilon_{\text{axial}}}.
O sinal menos é porque, normalmente, uma deformação axial negativa (encurtamento) produz deformação lateral positiva (alargamento). Substituindo nossos valores:
\nu=-\frac{0,0016}{-0,005}=0,32.
Interpretação rápida: \nu=0,32 significa que para cada unidade de encurtamento axial aparecem 0,32 unidades de alargamento relativo lateral.

Passo 5

Calcular a tensão axial média \sigma. Conceito: tensão média em uma seção perpendicular à carga é força sobre área:
\sigma=\frac{F}{A},
onde a área da seção de um cilindro é
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Calculando A com d=150\\ \mathrm{mm}:
A=\frac{\pi(150\\ \mathrm{mm})^{2}}{4}=5625\pi\\ \mathrm{mm}^{2}\approx17671,46\\ \mathrm{mm}^{2}.
Agora a tensão (em \mathrm{N/mm}^{2}=\mathrm{MPa}):
\sigma=\frac{20000\\ \mathrm{N}}{17671,46\\ \mathrm{mm}^{2}}\approx1,13137\\ \mathrm{MPa}.
Didática: usar unidades consistentes (N e mm) dá tensão direto em MPa.

Passo 6

Calcular o módulo de elasticidade E. Conceito: na região elástica linear de Hooke, o módulo de elasticidade (Young) relaciona tensão e deformação axial por
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{\text{axial}}}.
Atenção ao sinal: \varepsilon_{\text{axial}} é negativo aqui, mas E é uma grandeza positiva; usamos o valor de \sigma (positivo em módulo) dividido pela magnitude da deformação axial (ou usar diretamente a divisão cuidando dos sinais). Substituindo:
E=\frac{1,13137\\ \mathrm{MPa}}{-0,005}=-226,274\\ \mathrm{MPa}.
Como E é positivamente definido, tomamos o valor absoluto:
E\approx226,27\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: E indica rigidez do material; quanto maior, menos ele deforma sob uma dada tensão.

Resposta

E=226,27\\ \mathrm{MPa}
\nu=0,32

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