Um corpo de prova cilíndrico, com diâmetro de 15 cm e altura de 20 cm , é comprimido axialmente por uma carga de 20 kN , causando uma redução no comprimento de -1 mm e um aumento no diâmetro de
. Determine o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material. Resposta:
e
Passo 1
Entender o que o problema dá e o que pede. Dados do enunciado:
O que nos pedem: o módulo de elasticidade
do material e o coeficiente de Poisson
.
Passo 2
Calcular a deformação axial (strain axial). Conceito: a deformação axial
é a variação relativa do comprimento, dada por
onde
é a mudança no comprimento e
é o comprimento inicial. Substituindo os valores (convertidos para a mesma unidade, aqui mm):
Explicação didática: o sinal negativo indica encurtamento (compressão). Em provas, calcule sempre
e divida pelo
inicial.
Passo 3
Calcular a deformação transversal (strain lateral). Conceito: a deformação lateral
é a variação relativa da dimensão lateral (aqui o diâmetro), dada por
Substituindo:
Didática: a deformação lateral é positiva se a peça aumenta de diâmetro (como ocorreu aqui, porque comprimimos axialmente).
Passo 4
Calcular o coeficiente de Poisson
. Conceito: Poisson relaciona a deformação lateral com a axial por
O sinal menos é porque, normalmente, uma deformação axial negativa (encurtamento) produz deformação lateral positiva (alargamento). Substituindo nossos valores:
Interpretação rápida:
significa que para cada unidade de encurtamento axial aparecem
unidades de alargamento relativo lateral.
Passo 5
Calcular a tensão axial média
. Conceito: tensão média em uma seção perpendicular à carga é força sobre área:
onde a área da seção de um cilindro é
Calculando
com
:
Agora a tensão (em
):
Didática: usar unidades consistentes (N e mm) dá tensão direto em MPa.
Passo 6
Calcular o módulo de elasticidade
. Conceito: na região elástica linear de Hooke, o módulo de elasticidade (Young) relaciona tensão e deformação axial por
Atenção ao sinal:
é negativo aqui, mas
é uma grandeza positiva; usamos o valor de
(positivo em módulo) dividido pela magnitude da deformação axial (ou usar diretamente a divisão cuidando dos sinais). Substituindo:
Como
é positivamente definido, tomamos o valor absoluto:
Interpretação:
indica rigidez do material; quanto maior, menos ele deforma sob uma dada tensão.