Uma barra com seção transversal circular é submetida a um esforço normal de 9050 kN . Calcule o menor diâmetro necessário para que a barra não sofra escoamento, sabendo que a sua tensão de escoamento é \sigma_{y}=200 \mathrm{MPa}. Resposta: 24 cm

Passo 1

O enunciado dá uma barra de seção transversal circular submetida a um esforço normal de \,9050\\ \mathrm{kN} e informa que a tensão de escoamento é \sigma_{y}=200\\ \mathrm{MPa}. A pergunta é: qual o menor diâmetro necessário para que a barra não sofra escoamento?
Informações relevantes fornecidas:
\,F=9050\\ \mathrm{kN} (força axial aplicada),
\sigma_{y}=200\\ \mathrm{MPa} (tensão de escoamento do material).
O que precisamos encontrar: o menor diâmetro \,d da seção circular tal que a tensão normal na barra não ultrapasse \sigma_{y}.

Passo 2

Conceito básico e fórmula que vamos usar: a tensão normal média em uma barra sujeita à força axial é dada por
\sigma=\frac{F}{A},
onde \sigma é a tensão (unidades de pressão), \,F é a força axial (unidades de força) e \,A é a área da seção transversal (unidades de área).
Para evitar escoamento queremos que a tensão aplicada seja menor ou igual à tensão de escoamento:
\sigma \le \sigma_{y}\quad\Rightarrow\quad A \ge \frac{F}{\sigma_{y}}.
Portanto primeiro calculamos a área mínima requerida \,A_{\min}=\dfrac{F}{\sigma_{y}}.

Passo 3

Fazer conversões de unidades para trabalhar em SI (metros, newtons, pascals):
\,F=9050\\ \mathrm{kN}=9050\times10^{3}\\ \mathrm{N}=9{,}05\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
\sigma_{y}=200\\ \mathrm{MPa}=200\times10^{6}\\ \mathrm{N/m^{2}}=2{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Agora calculamos a área mínima:
A_{\min}=\frac{F}{\sigma_{y}}=\frac{9{,}05\times10^{6}}{2{,}00\times10^{8}}\\ \mathrm{m^{2}}.
Fazendo a divisão:
A_{\min}=0{,}04525\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Relacionar a área de uma seção circular com o diâmetro: para um círculo
A=\frac{\pi d^{2}}{4},
onde \,d é o diâmetro. Isolando \,d obtemos
d=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
Vamos usar A_{\min} no lugar de A para garantir que a tensão não ultrapasse \sigma_{y}:
d_{\min}=\sqrt{\frac{4A_{\min}}{\pi}}.

Passo 5

Substituindo A_{\min}=0{,}04525\\ \mathrm{m^{2}} na expressão do diâmetro:
d_{\min}=\sqrt{\frac{4\cdot 0{,}04525}{\pi}}=\sqrt{\frac{0{,}181}{\pi}}\\ \mathrm{m}.
Usando \pi\approx3{,}1416:
\frac{0{,}181}{\pi}\approx0{,}05761,
portanto
d_{\min}=\sqrt{0{,}05761}\\ \mathrm{m}\approx0{,}2400\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
d_{\min}\approx0{,}2400\\ \mathrm{m}=24{,}00\\ \mathrm{cm}.
Pronto — esse é o menor diâmetro que garante que a tensão média não ultrapasse a tensão de escoamento.

Resposta

\,24\\ \mathrm{cm}

Exercícios relacionados