Uma voltagem v(t)=100 \cdot \operatorname{sen}\left(1000 \cdot t-30^{\circ}\right) é aplicada um determinado circuito que responde com uma corrente que circula na sua entrada de i(t)=20 \cdot \operatorname{sen}\left(1000 \cdot t+30^{\circ}\right). Determinar o circuito associado a esta situação.

Passo 1

Temos uma tensão de entrada
v(t)=100\operatorname{sen}\bigl(1000\,t-30^\circ\bigr)
que produz uma corrente
i(t)=20\operatorname{sen}\bigl(1000\,t+30^\circ\bigr).
O conteúdo aqui é análise em regime permanente senoidal usando fasores e impedância Z. Vamos converter para fasores, calcular Z=V/I, decompor em parte real e imaginária e identificar os elementos do circuito.

Passo 2

Converter as funções tempo em fasores (referência seno):
  • A fasor tensão é
V = 100\angle(-30^\circ)\quad(\text{volts}).
  • A fasor corrente é
I = 20\angle(30^\circ)\quad(\text{amperes}).

Passo 3

Calcular a impedância equivalente
Z = \frac{V}{I} = \frac{100\angle(-30^\circ)}{20\angle(30^\circ)} = 5\angle(-60^\circ)\\ \Omega.

Passo 4

Expressar Z em forma retangular:
Z = 5\bigl(\cos(-60^\circ)+j\operatorname{sen}(-60^\circ)\bigr) = 5\Bigl(\tfrac12 - j\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) = 2{,}5 - j4{,}330\\ \Omega.
A parte real R=2{,}5\,\Omega e a parte imaginária X=-4{,}330\,\Omega.

Passo 5

Como X<0, o elemento reativo é capacitivo, com reatância
X_C = \bigl|X\bigr| = 4{,}330\\ \Omega
e capacitância
C = \frac{1}{\omega\,X_C} = \frac{1}{1000\cdot4{,}330} \approx 2{,}309\times10^{-4}\\ \mathrm{F} = 230{,}9\\ \mu\mathrm{F}.

Resposta

O circuito equivalente é um resistor R=2{,}5\,\Omega em série com um capacitor C\approx230{,}9\,\mu\mathrm{F}.

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