( \mathbf{2 , 5 0} Pontos) A tensão em uma carga é \boldsymbol{v}(t)=60 \cos \left(\omega t-10^{\circ}\right) \mathrm{V} e a corrente através do elemento no sentido da queda de tensão é i(t)=1,5 \cos \left(\omega t+50^{\circ}\right) \mathrm{A}. Determine as potências Aparente, Ativa e Reativa.
Elemento Domínio do tempo Domínio da Frequência
Fonte de tensão v(t)=V_{\text {MAX }} \cdot \operatorname{sen}\left(\omega t+\theta_{v}\right) V_{\text {MAX }} \angle \theta_{v}
Fonte de corrente i(t)=I_{\text {MAX }} \cdot \operatorname{sen}\left(\omega t+\theta_{i}\right) I_{\text {MAX }} \angle \theta_{i}
R v(t)=R \cdot i(t) V=R \cdot I
L v(t)=L \cdot \frac{d i(t)}{d t} V=j \omega L \cdot I
C i(t)=C \cdot \frac{d v(t)}{d t} V=\frac{1}{j \omega C} \cdot I
impedância Z=R+j \mathrm{X}
R Z=R
L Z=j \omega L
C Z=\frac{1}{j \omega C}
impedância Z=\frac{V_{\text {MAX }} \angle \theta_{v}}{I_{\text {MAX }} \angle \theta_{i}}=
impedância Z=\frac{V_{\text {MAX }}}{I_{\text {MAX }}} \angle \theta_{v}-\theta_{i}
Defasagem entre tensão e corrente \varphi=\theta_{v}-\theta_{i}
Valor RMS ou Eficaz X_{\text {RMS }}=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2} d t}
Valor RMS da tensão v(t)=V_{M A X} \cdot \operatorname{sen}\left(\omega t+\theta_{v}\right) V_{R M S}=\frac{V_{M A X}}{\sqrt{2}}
Valor RMS da corrente i(t)=I_{\text {MAX }} \cdot \operatorname{sen}\left(\omega t+\theta_{i}\right) I_{R M S}=\frac{I_{M A X}}{\sqrt{2}}
Potência Complexa S=\frac{1}{2} \cdot V \cdot I^{*}
Potência Complexa S=\frac{V_{\text {MAX }} \angle \theta_{v} \cdot\left(I_{\text {MAX }} \angle \theta_{i}\right)^{*}}{2}
S=\frac{V_{M A X} \cdot I_{M A X}}{2} \angle \theta_{v}-\theta_{i}
S=\frac{V_{M A X} \cdot I_{M A X}}{2} \cos \left(\theta_{v}-\theta_{i}\right)+j \frac{V_{M A X} \cdot I_{M A X}}{2} \operatorname{sen}\left(\theta_{v}-\theta_{i}\right)
Potência Aparente [VA] S=P+j Q
Potência Ativa [W] P=\frac{V_{M A X} \cdot I_{M A X}}{2} \cos \left(\theta_{v}-\theta_{i}\right)
Potência Reativa [var] Q=\frac{V_{M A X} \cdot I_{M A X}}{2} \operatorname{sen}\left(\theta_{v}-\theta_{i}\right)
Em termos dos Valores Eficazes
Potência Aparente [VA] |S|=V_{\text {RMS }} \cdot I_{\text {RMS }}
Potência Ativa [W] P=V_{R M S} \cdot I_{R M S} \cdot \cos \left(\theta_{v}-\theta_{i}\right)
Potência Reativa [W] Q=V_{R M S} \cdot I_{R M S} \cdot \operatorname{sen}\left(\theta_{v}-\theta_{i}\right)
P=R \cdot\left(I_{R M S}\right)^{2} P=\frac{\left(V_{R M S}\right)^{2}}{R}
Q=X \cdot\left(I_{R M S}\right)^{2} Q=\frac{\left(V_{R M S}\right)^{2}}{X}

Passo 1

O enunciado dá uma tensão \displaystyle v(t)=60\cos\bigl(\omega t-10^\circ\bigr)\,\mathrm{V}
e uma corrente \displaystyle i(t)=1,5\cos\bigl(\omega t+50^\circ\bigr)\,\mathrm{A}.
O objetivo é calcular as potências aparente S, ativa P e reativa Q.
Para isso vamos usar fasores, valores eficazes (RMS) e a defasagem \varphi=\theta_v-\theta_i.

Passo 2

Convertendo para valores RMS e escrevendo os fasores:
V_{\text{RMS}}=\frac{60}{\sqrt{2}}=42,426\\ \mathrm{V},\quad \underline{V}=42,426\angle(-10^\circ)
I_{\text{RMS}}=\frac{1,5}{\sqrt{2}}=1,0607\\ \mathrm{A},\quad \underline{I}=1,0607\angle(50^\circ)

Passo 3

A defasagem entre tensão e corrente é
\varphi=\theta_v-\theta_i=(-10^\circ)-50^\circ=-60^\circ.
A potência aparente em módulo é
|S|=V_{\text{RMS}}\cdot I_{\text{RMS}} =42,426\times1,0607=45\\ \mathrm{VA}.

Passo 4

A potência ativa é
P=V_{\text{RMS}}\,I_{\text{RMS}}\cos\varphi =45\cdot\cos(-60^\circ)=45\cdot0{,}5=22{,}5\\ \mathrm{W}.
A potência reativa é
Q=V_{\text{RMS}}\,I_{\text{RMS}}\sin\varphi =45\cdot\sin(-60^\circ)=45\cdot(-0{,}8660)=-38{,}97\\ \mathrm{var}.

Resposta

Potência aparente: S=45\\ \mathrm{VA}
Potência ativa: P=22{,}5\\ \mathrm{W}
Potência reativa: Q=-38{,}97\\ \mathrm{var}

Exercícios relacionados