Se w=f(x, y, z), onde f é diferenciável em um ponto interior (x, y, z) de seu domínio , definimos a diferencial total d w, ou d f, em ( x, y, z ) por
d w=d f=\frac{\partial w}{\partial x} d x+\frac{\partial w}{\partial y} d y+\frac{\partial w}{\partial z} d z=f_{x}(x, y, z) d x+f_{y}(x, y, z) d y+f_{z}(x, y, z) d z
onde d x, d y e d z as diferenciais de suas variáveis independentes, podem ter valores arbitrários. A diferencial total d w fornece uma aproximação da variação \Delta w dependente de w causada pelo incremento de x, y e z das quantidades d x, d y e d z, respectivamente.
I) Encontre a diferencial total
d T se T=P V / R, onde R é constante e P e V são variáveis.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a diferencial total dT da função T=\dfrac{P\,V}{R}, onde:
  • P e V são variáveis independentes;
  • R é constante;
  • A função é diferenciável no ponto considerado.
Pergunta clara: encontrar dT em termos de dP e dV (as diferenciais de P e V).

Passo 2

Lembrete prático sobre diferencial total (aula rápida e direta).
Se uma função depende de duas variáveis, T=T(P,V), e é diferenciável, a diferencial total é dada por
dT=\frac{\partial T}{\partial P}\,dP+\frac{\partial T}{\partial V}\,dV.
O que isso significa, em palavras simples:
  • \dfrac{\partial T}{\partial P} é a taxa de variação de T quando só P muda (mantendo V fixo);
  • \dfrac{\partial T}{\partial V} é a taxa de variação de T quando só V muda (mantendo P fixo);
  • Multiplicando cada taxa por dP ou dV e somando, obtemos a variação aproximada total dT quando P e V variam simultaneamente.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de T em relação a P, tratando V como constante. Escrevendo a função,
T(P,V)=\frac{P\,V}{R}.
Como V e R são tratados como constantes ao derivar em relação a P, a derivada parcial é obtida retirando V/R como fator constante:
\frac{\partial T}{\partial P}=\frac{V}{R}.
Explicação curta: se T=a\cdot P com a constante, então \partial T/\partial P=a. Aqui a=V/R.

Passo 4

Agora a derivada parcial de T em relação a V, tratando P como constante. Pelo mesmo raciocínio:
\frac{\partial T}{\partial V}=\frac{P}{R}.
Porque, para T=b\cdot V com b constante, \partial T/\partial V=b. Aqui b=P/R.

Passo 5

Usando a fórmula do diferencial total (Passo 2) e as derivadas parciais calculadas (Passos 3 e 4), substitui-se \dfrac{\partial T}{\partial P} e \dfrac{\partial T}{\partial V} na expressão de dT. Isso fornece a forma final da diferencial em termos de dP e dV.

Passo 6

Rota alternativa (mesma ideia, outra visão): escrevendo T=(1/R)\cdot(PV) e lembrando que R é constante, pode-se aplicar a regra do produto para diferenciais:
d(PV)=P\,dV+V\,dP.
Multiplicando por 1/R obtém-se a diferencial de T. Essa rota serve para entender de forma direta por que aparecem os termos P\,dV e V\,dP.

Resposta

dT=\frac{V}{R}\,dP+\frac{P}{R}\,dV

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