Se
, onde
é diferenciável em um ponto interior
de seu domínio , definimos a diferencial total
, ou
, em (
) por
onde
e
as diferenciais de suas variáveis independentes, podem ter valores arbitrários. A diferencial total
fornece uma aproximação da variação
dependente de
causada pelo incremento de
e
das quantidades
e
, respectivamente.
I) Encontre a diferencial total
se
, onde
é constante e
e
são variáveis.
I) Encontre a diferencial total
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a diferencial total
da função
, onde:
-
e são variáveis independentes; -
é constante; - A função é diferenciável no ponto considerado.
Pergunta clara: encontrar
em termos de
e
(as diferenciais de
e
).
Passo 2
Lembrete prático sobre diferencial total (aula rápida e direta).
Se uma função depende de duas variáveis, , e é diferenciável, a diferencial total é dada por
Se uma função depende de duas variáveis,
O que isso significa, em palavras simples:
-
é a taxa de variação de quando só muda (mantendo fixo); -
é a taxa de variação de quando só muda (mantendo fixo); - Multiplicando cada taxa por
ou e somando, obtemos a variação aproximada total quando e variam simultaneamente.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constante. Escrevendo a função,
Como
e
são tratados como constantes ao derivar em relação a
, a derivada parcial é obtida retirando
como fator constante:
Explicação curta: se
com
constante, então
. Aqui
.
Passo 4
Agora a derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constante. Pelo mesmo raciocínio:
Porque, para
com
constante,
. Aqui
.
Passo 5
Usando a fórmula do diferencial total (Passo 2) e as derivadas parciais calculadas (Passos 3 e 4), substitui-se
e
na expressão de
. Isso fornece a forma final da diferencial em termos de
e
.
Passo 6
Rota alternativa (mesma ideia, outra visão): escrevendo
e lembrando que
é constante, pode-se aplicar a regra do produto para diferenciais:
Multiplicando por
obtém-se a diferencial de
. Essa rota serve para entender de forma direta por que aparecem os termos
e
.