What is the average power production in watts of a man who burns 2500 kcal of food in a day? Estimate the average additional power production of a 75 kg man who is climbing a mountain at the rate of 20 metres per minute.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados foram fornecidos.
  • Pedido 1: calcular a potência média produzida por um homem que queima 2500\\ \text{kcal} de alimento em um dia.
  • Pedido 2: estimar a potência adicional média de um homem de massa 75\\ \mathrm{kg} que sobe uma montanha à razão de 20\\ \mathrm{m/min}.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • Energia diária ingerida/queimada: 2500\\ \text{kcal}.
  • Tempo correspondente a um dia: 24\\ \mathrm{h} = 86400\\ \mathrm{s}.
  • Massa do homem para a segunda parte: m=75\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade vertical de subida: 20\\ \mathrm{m/min}.
Observação importante (não resolvo nada ainda): para a subida vou usar a relação entre variação de energia potencial gravitacional e potência; essa é a estimativa mecânica mínima da potência adicional.

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar para a primeira parte: potência média.
  • Definição: potência média é a razão entre energia entregue (ou produzida) e o tempo em que isso ocorre.
  • Fórmula:
P=\frac{E}{t},
onde:
  • P é a potência média (em \mathrm{W}, que é \mathrm{J/s}),
  • E é a energia total (em \mathrm{J}),
  • t é o intervalo de tempo (em \mathrm{s}).
Também preciso converter calorias alimentares para joules:
  • Convenção: 1\\ \text{kcal}=4184\\ \mathrm{J}. (Nota: \text{kcal} aqui é a “caloria alimentar”.)

Passo 3

Cálculo da potência média a partir de 2500\\ \text{kcal} em um dia.
  • Converter energia:
E = 2500\\ \text{kcal}\times 4184\\ \frac{\mathrm{J}}{\text{kcal}} = 2500\times 4184\\ \mathrm{J} = 10\,460\,000\\ \mathrm{J}.
  • Tempo:
t = 24\\ \mathrm{h} = 24\times 3600\\ \mathrm{s} = 86\,400\\ \mathrm{s}.
  • Aplicar P=E/t:
P_{\text{médio}}=\frac{10\,460\,000\\ \mathrm{J}}{86\,400\\ \mathrm{s}} \approx 121{,}0\\ \mathrm{W}.é
Explicação intuitiva: isso significa que, em média ao longo do dia, o corpo está liberando energia ao ritmo de cerca de 121\\ \mathrm{J} por segundo — ou seja, produzindo cerca de 121\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Conceito e fórmula que vou usar para a segunda parte (subida).
  • Energia potencial gravitacional ganha ao subir uma altura h:
\Delta U = m g h,
onde:
  • m é a massa (em \mathrm{kg}),
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}; usarei g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}),
  • h é a altura (em \mathrm{m}).
  • Potência associada à subida (taxa de aumento da energia potencial) quando a subida é feita com velocidade vertical v = \frac{dh}{dt}:
P = \frac{d}{dt}(m g h) = m g \frac{dh}{dt} = m g v,
onde:
  • v é a velocidade vertical (em \mathrm{m/s}),
  • P é a potência mecânica necessária (em \mathrm{W}).
Observação didática: P=m g v é a potência mecânica mínima necessária para elevar o corpo contra a gravidade. O corpo humano não é 100% eficiente; se for preciso estimar potência metabólica real, divide-se por uma eficiência muscular (por exemplo \sim 0{,}2 a 0{,}3), o que aumenta bastante o número metabólico. Aqui vamos primeiro calcular a potência mecânica “mínima”.

Passo 5

Cálculo da potência adicional mecânica para subir a 20\\ \mathrm{m/min}.
  • Converter a velocidade para \mathrm{m/s}:
v = 20\\ \mathrm{m/min} = \frac{20}{60}\\ \mathrm{m/s} = \frac{1}{3}\\ \mathrm{m/s} \approx 0{,}3333\\ \mathrm{m/s}.
  • Aplicar P = m g v com m=75\\ \mathrm{kg} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:
P_{\text{subida}} = 75\\ \mathrm{kg}\times 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}\times \frac{1}{3}\\ \mathrm{m/s}.
  • Fazer as contas:
9{,}8\times\frac{1}{3}=3{,}266\overline{6}\quad\Rightarrow\quad P_{\text{subida}}=75\times 3{,}266\overline{6}\\ \mathrm{W}\approx 245\\ \mathrm{W}.
Interpretação e observação prática: 245\\ \mathrm{W} é a potência mecânica extra necessária para ganhar altitude àquela taxa. Se quisermos estimar a potência metabólica adicional real (o que o corpo precisa queimar), devemos dividir por a eficiência muscular; por exemplo, com eficiência \sim 25\% a potência metabólica adicional seria cerca de 245/0{,}25\approx 980\\ \mathrm{W}, valor esse muito grande e difícil de sustentar, o que mostra que muitas vezes parte do trabalho é assistida pelo movimento do corpo, uso do terreno, pausas, ou que a eficiência efetiva é diferente; para este problema, a resposta padrão é a potência mecânica \approx 245\\ \mathrm{W}.

Resposta

121\\ \mathrm{W}
245\\ \mathrm{W}

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