A lead bullet is fired at a wooden plank. At what speed must it travel to melt on impact, if its initial temperature is
and heating of the plank is neglected? The melting point of lead is
and you can assume that it obeys the Dulong and Petit rule to estimate its specific heat. The heat of fusion of lead is
. Does the neglect of heating of the plank introduce a large error in your estimate of speed?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (lista de dados e perguntas):
- Temperatura inicial do projétil (chumbo):
. - Ponto de fusão do chumbo:
. - Aquecimento do tábuo (madeira) é desprezado.
- Regra de Dulong–Petit deve ser usada para estimar a capacidade calorífica molar do chumbo.
- Calor de fusão do chumbo:
. - Pergunta principal: qual deve ser a velocidade de disparo para que a bala se funda no impacto, assumindo que toda a energia cinética se transforma em calor que aquece/funde a própria bala?
- Pergunta secundária: o desprezo do aquecimento da madeira introduz um erro grande na estimativa?
Passo 2
Estratégia física e equação de balanço de energia (conceito):
- A ideia é usar conservação de energia: a energia cinética inicial do projétil é convertida em calor absorvido pelo chumbo (aumenta a temperatura até o ponto de fusão e fornece o calor latente de fusão).
- Para energia por unidade de massa (escolhemos trabalhar por unidade de massa), a relação é
onde
é a velocidade que procuramos (em
) e
é a energia necessária por unidade de massa (em
) para aquecer o chumbo de
até
e fundi-lo. Vou agora calcular
.
Passo 3
Estimativa da capacidade calorífica molar pelo princípio de Dulong–Petit:
- A regra de Dulong–Petit dá a capacidade calorífica molar aproximada de muitos metais como
onde
é a constante dos gases.
- Assim
Passo 4
Energia para aquecer o chumbo até o ponto de fusão (por mol):
- Diferença de temperatura:
- Energia de aquecimento por mol:
- Calculemos numericamente:
(Arredondei para manter clareza:
é, na verdade,
, mas usarei
para seguir com as contas.)
Passo 5
Energia de fusão (por mol) e energia total por mol:
- Calor de fusão dado:
. - Energia total necessária por mol:
- Numericamente:
Passo 6
Converter energia por mol para energia por unidade de massa (J/kg):
- Massa molar do chumbo:
. - Energia específica (por kg):
- Numericamente:
Passo 7
Calcular a velocidade necessária a partir de
:
- Reescrevendo:
- Substituindo o valor encontrado:
- Numericamente:
- Arredondando de forma útil:
Passo 8
Avaliação da precisão da aproximação Dulong–Petit e efeito disso na velocidade:
- A regra de Dulong–Petit dá
. O valor experimental real do calor específico do chumbo é um pouco maior (em termos de capacidade específica por massa, ), o que corresponderia a . - Refazendo rapidamente as contas com o valor real daria uma energia específica um pouco maior e uma velocidade um pouco maior. Usando o
experimental obtém-se aproximadamente . - Conclusão: o uso de Dulong–Petit introduz um erro pequeno na velocidade (ordem de poucos por cento, aqui cerca de
a ). Então essa aproximação não é a maior fonte de erro.
Passo 9
Avaliação do efeito de desprezar o aquecimento da madeira (erro por transferência de calor para o tábuo):
- Até agora supusemos que TODA a energia cinética vai aquecer e fundir apenas o chumbo. Na prática o impacto aquece tanto a bala quanto uma região da madeira; parte da energia irá para a madeira, para deformação plástica, som, fragmentação, etc.
- Consequência: se uma fração
da energia vai para a madeira, então a fração é a que aquece o chumbo, e portanto a energia cinética necessária deve ser maior, em razão . A velocidade necessária cresce como . - Exemplo numérico simples para ver a sensibilidade:
- Se metade da energia for absorvida pela madeira (
), a energia disponível para o chumbo é metade, e a velocidade necessária aumenta por um fator . Assim o estimado passaria de para .
- Se metade da energia for absorvida pela madeira (
- Portanto o desprezo do aquecimento da madeira PODE introduzir um erro grande, dependendo de quanto calor gera-se na madeira e quão localizado é o aquecimento. Se o aquecimento é muito localizado e a fusão ocorre antes da madeira absorver calor (por exemplo, fusão instantânea devido a grande deformação interna do chumbo), o erro pode ser pequeno; em impactos mais lentos ou em que a energia se espalha pela madeira, o erro pode ser grande (fator de 2 ou mais na energia → fator de ~1,4 ou maior na velocidade).
Resposta
Sim. O desprezo do aquecimento da madeira pode introduzir um erro grande — se a madeira absorver fração significativa da energia, a velocidade necessária pode aumentar substancialmente (por exemplo, se metade da energia for absorvida pela madeira, a velocidade necessária cresce por um fator