A lead bullet is fired at a wooden plank. At what speed must it travel to melt on impact, if its initial temperature is 25^{\circ} \mathrm{C} and heating of the plank is neglected? The melting point of lead is 327^{\circ} \mathrm{C} and you can assume that it obeys the Dulong and Petit rule to estimate its specific heat. The heat of fusion of lead is 5.19 \mathrm{~kJ} \cdot \mathrm{~mol}^{-1}. Does the neglect of heating of the plank introduce a large error in your estimate of speed?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista de dados e perguntas):
  • Temperatura inicial do projétil (chumbo): 25^\circ\mathrm{C}.
  • Ponto de fusão do chumbo: 327^\circ\mathrm{C}.
  • Aquecimento do tábuo (madeira) é desprezado.
  • Regra de Dulong–Petit deve ser usada para estimar a capacidade calorífica molar do chumbo.
  • Calor de fusão do chumbo: 5{,}19\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Pergunta principal: qual deve ser a velocidade de disparo para que a bala se funda no impacto, assumindo que toda a energia cinética se transforma em calor que aquece/funde a própria bala?
  • Pergunta secundária: o desprezo do aquecimento da madeira introduz um erro grande na estimativa?

Passo 2

Estratégia física e equação de balanço de energia (conceito):
  • A ideia é usar conservação de energia: a energia cinética inicial do projétil é convertida em calor absorvido pelo chumbo (aumenta a temperatura até o ponto de fusão e fornece o calor latente de fusão).
  • Para energia por unidade de massa (escolhemos trabalhar por unidade de massa), a relação é
\frac{1}{2}v^{2}=q_{\text{espec}},
onde \;v\; é a velocidade que procuramos (em \mathrm{m/s}) e \;q_{\text{espec}}\; é a energia necessária por unidade de massa (em \mathrm{J/kg}) para aquecer o chumbo de 25^\circ\mathrm{C} até 327^\circ\mathrm{C} e fundi-lo. Vou agora calcular \;q_{\text{espec}}\;.

Passo 3

Estimativa da capacidade calorífica molar pelo princípio de Dulong–Petit:
  • A regra de Dulong–Petit dá a capacidade calorífica molar aproximada de muitos metais como
C_{\text{mol}} \approx 3R,
onde \;R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} é a constante dos gases.
  • Assim
C_{\text{mol}} \approx 3\cdot 8{,}314 = 24{,}942\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.

Passo 4

Energia para aquecer o chumbo até o ponto de fusão (por mol):
  • Diferença de temperatura:
\Delta T = 327^\circ\mathrm{C}-25^\circ\mathrm{C}=302\\ \mathrm{K}.
  • Energia de aquecimento por mol:
q_{\text{aquec,mol}}=C_{\text{mol}}\Delta T=24{,}942\times 302 \\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
  • Calculemos numericamente:
q_{\text{aquec,mol}} = 24{,}942 \times 302 = 7{,}532{,}484\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}\approx 7{,}532\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
(Arredondei para manter clareza: 7{,}532\\ \mathrm{J/mol} é, na verdade, 7{,}532{,}484\\ \mathrm{J/mol}, mas usarei 7{,}532\\ \mathrm{J/mol} para seguir com as contas.)

Passo 5

Energia de fusão (por mol) e energia total por mol:
  • Calor de fusão dado: 5{,}19\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}} = 5{,}190\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
  • Energia total necessária por mol:
Q_{\text{mol}}=q_{\text{aquec,mol}}+q_{\text{fus,mol}}=7{,}532{,}484+5{,}190 \\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
  • Numericamente:
Q_{\text{mol}} \approx 12{,}722{,}484\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}\approx 12{,}722\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.

Passo 6

Converter energia por mol para energia por unidade de massa (J/kg):
  • Massa molar do chumbo: \;M\approx 207{,}2\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}=0{,}2072\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.
  • Energia específica (por kg):
q_{\text{espec}}=\frac{Q_{\text{mol}}}{M}=\frac{12{,}722{,}484\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}}{0{,}2072\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}}.
  • Numericamente:
q_{\text{espec}}\approx \frac{12{,}722{,}484}{0{,}2072}\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}}\approx 61{,}430\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}}.

Passo 7

Calcular a velocidade necessária a partir de \tfrac{1}{2}v^{2}=q_{\text{espec}}:
  • Reescrevendo:
v=\sqrt{2\,q_{\text{espec}}}.
  • Substituindo o valor encontrado:
v=\sqrt{2\times 61{,}430}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
  • Numericamente:
v\approx \sqrt{122{,}860}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\approx 350{,}5\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
  • Arredondando de forma útil:
v\approx 3{,}51\times 10^{2}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.

Passo 8

Avaliação da precisão da aproximação Dulong–Petit e efeito disso na velocidade:
  • A regra de Dulong–Petit dá C_{\text{mol}}\approx 24{,}94\\ \mathrm{J/mol\cdot K}. O valor experimental real do calor específico do chumbo é um pouco maior (em termos de capacidade específica por massa, c_{\text{Pb}}\approx 129\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}), o que corresponderia a C_{\text{mol,real}}\approx 26{,}7\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Refazendo rapidamente as contas com o valor real daria uma energia específica um pouco maior e uma velocidade um pouco maior. Usando o c experimental obtém-se aproximadamente v\approx 3{,}58\times10^{2}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
  • Conclusão: o uso de Dulong–Petit introduz um erro pequeno na velocidade (ordem de poucos por cento, aqui cerca de 2\% a 3\%). Então essa aproximação não é a maior fonte de erro.

Passo 9

Avaliação do efeito de desprezar o aquecimento da madeira (erro por transferência de calor para o tábuo):
  • Até agora supusemos que TODA a energia cinética vai aquecer e fundir apenas o chumbo. Na prática o impacto aquece tanto a bala quanto uma região da madeira; parte da energia irá para a madeira, para deformação plástica, som, fragmentação, etc.
  • Consequência: se uma fração f da energia vai para a madeira, então a fração (1-f) é a que aquece o chumbo, e portanto a energia cinética necessária deve ser maior, em razão 1/(1-f). A velocidade necessária cresce como \;v\propto 1/\sqrt{1-f}.
  • Exemplo numérico simples para ver a sensibilidade:
    • Se metade da energia for absorvida pela madeira ( f=0{,}5), a energia disponível para o chumbo é metade, e a velocidade necessária aumenta por um fator \sqrt{1/(1-0{,}5)}=\sqrt{2}\approx 1{,}414. Assim o v estimado passaria de \sim 351\\ \mathrm{m/s} para \sim 497\\ \mathrm{m/s}.
  • Portanto o desprezo do aquecimento da madeira PODE introduzir um erro grande, dependendo de quanto calor gera-se na madeira e quão localizado é o aquecimento. Se o aquecimento é muito localizado e a fusão ocorre antes da madeira absorver calor (por exemplo, fusão instantânea devido a grande deformação interna do chumbo), o erro pode ser pequeno; em impactos mais lentos ou em que a energia se espalha pela madeira, o erro pode ser grande (fator de 2 ou mais na energia → fator de ~1,4 ou maior na velocidade).

Resposta

v\approx 3{,}51\times10^{2}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}
Sim. O desprezo do aquecimento da madeira pode introduzir um erro grande — se a madeira absorver fração significativa da energia, a velocidade necessária pode aumentar substancialmente (por exemplo, se metade da energia for absorvida pela madeira, a velocidade necessária cresce por um fator \sqrt{2}).

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