Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para encontrar todos os valores de
(soluções reais) que satisfazem essa igualdade.
Informações fornecidas:
- A equação é transcendental (tem
dentro e fora de uma exponencial). - Não há outras condições explícitas (procurar todas as soluções reais).
Passo 2
Teste óbvio por substituição: verificar se
é solução.
logo
. Portanto
é uma solução.
Passo 3
Agora vamos investigar se existem outras soluções. Defina a função
As soluções da equação são precisamente os zeros de
.
Estudo rápido de comportamento:
-
porque domina quando . -
pois domina. - Derivada:
Zerando a derivada obtemos o ponto crítico
. Esse é o ponto onde
atinge um mínimo global (pois
passa de negativo para positivo).
A altura mínima vale
A altura mínima vale
Como
em ambas as extremidades e tem um mínimo negativo,
corta o eixo
duas vezes. Conclusão: há exatamente duas soluções reais.
Passo 4
Uma solução já foi encontrada por inspeção:
. Para escrever as soluções de forma analítica podemos usar a função de Lambert
, que é a inversa da função
. A identidade-chave é: se
então
(com ramos
quando apropriado).
Faço a manipulação para trazer a equação à forma
. Parto de
Coloco
, então
e
. A equação vira
Multiplicando ambos os lados por
(ou reescrevendo diretamente), definindo
(ou seja
), obtemos
Portanto
onde
indica o ramo da função
. Voltando para
:
Logo as soluções são
com os ramos
e
possíveis se o argumento está em
. Aqui o argumento é
que satisfaz
. Logo há dois ramos reais e, portanto, duas soluções reais.
Note que, para
(ramo principal), temos
porque
. Isso gera
, a solução que já encontramos.
O outro ramo
dá a segunda solução
Passo 5
Agora vamos encontrar numericamente a segunda solução (o ramo
) com Newton, de forma que você saiba fazer sem tabela da função
.
Reescrevo a equação original para aplicar Newton:
Escolho uma aproximação inicial
(porque já vimos que existe uma raiz positiva além de
).
Iteração 1:
Newton:
Iteração 2:
Calcule e
. Aproximações:
Calcule
Newton:
A correção já é pequena; mais uma iteração reduziria o erro para ordem
. Portanto a segunda raiz vale aproximadamente
.