(a) Se
e
, mostre que
. (b) Mostre que a afirmação anterior é falsa se considerarmos
quaisquer números reais. (c) Se
, justifique se
.
Passo 1
O enunciado trata de desigualdades envolvendo as funções “quadrado” e “raiz quadrada”. Para (a) precisamos usar que a função
é crescente em
; para (b) veremos que isso falha fora desse domínio; para (c) usaremos que
é crescente em
.
Passo 2
Para (a), suponha
. Então
e, como
, temos também
. Observe que
O produto de dois números não negativos é não negativo, logo
Passo 3
Para (b), basta dar um contraexemplo com
reais quaisquer. Por exemplo, tome
e
. Então
mas
mostrando que a afirmação de (a) não vale para todos os reais.
Passo 4
Para (c), suponha
. A função
tem derivada
logo é crescente em
. Portanto
Resposta
(a) Se
então
.
(b) Falsa no caso geral: por exemplo ,
dá
.
(c) Sim, como é crescente em
, temos
.
(b) Falsa no caso geral: por exemplo
(c) Sim, como