Mostre que quaisquer que sejam os números reais
e
, temos que
se e somente se
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para quaisquer reais
e
, vale a equivalência
O conteúdo principal aqui é mostrar que a função
é estritamente crescente em
. Para isso, vamos usar a fatoração clássica de diferença de cubos e analisar o sinal dos fatores.
Passo 2
Começamos pela fatoração de diferença de cubos:
Essa identidade é válida para todos os reais
e
, e permite repartir o sinal de
em dois fatores.
Passo 3
Agora, analisamos o sinal do segundo fator
. Observe que
Como
,
e
são sempre não negativas, temos
com igualdade somente se
. Em particular, sempre que
, então
Passo 4
De
e do fato de que
é não negativo (e só é zero no caso trivial
), segue que o sinal de
coincide com o sinal de
. Portanto:
– Se
, então
e assim
, ou seja,
.
– Reciprocamente, se , então
implica
, ou seja,
.
– Reciprocamente, se
Resposta
Mostramos que
como desejado.