Mostre que quaisquer que sejam os números reais x e y, temos que x^{3}<y^{3} se e somente se x<y.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer reais x e y, vale a equivalência
x^3 < y^3 \quad\Longleftrightarrow\quad x < y.
O conteúdo principal aqui é mostrar que a função f(t)=t^3 é estritamente crescente em \mathbb{R}. Para isso, vamos usar a fatoração clássica de diferença de cubos e analisar o sinal dos fatores.

Passo 2

Começamos pela fatoração de diferença de cubos:
x^3 - y^3 = (x - y)\,(x^2 + x y + y^2).
Essa identidade é válida para todos os reais x e y, e permite repartir o sinal de x^3 - y^3 em dois fatores.

Passo 3

Agora, analisamos o sinal do segundo fator x^2 + x y + y^2. Observe que
x^2 + x y + y^2 = \tfrac12\bigl((x-y)^2 + x^2 + y^2\bigr).
Como (x-y)^2, x^2 e y^2 são sempre não negativas, temos
x^2 + x y + y^2 \;\ge\; 0,
com igualdade somente se x=y=0. Em particular, sempre que x\neq y, então
x^2 + x y + y^2 > 0.

Passo 4

De x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + x y + y^2) e do fato de que x^2 + x y + y^2 é não negativo (e só é zero no caso trivial x=y=0), segue que o sinal de x^3 - y^3 coincide com o sinal de x - y. Portanto:
– Se x<y, então x-y<0 e assim x^3 - y^3<0, ou seja, x^3 < y^3.
– Reciprocamente, se x^3<y^3, então x^3 - y^3<0 implica x-y<0, ou seja, x<y.

Resposta

Mostramos que
x^3<y^3 \quad\Longleftrightarrow\quad x<y,
como desejado.

Exercícios relacionados