Passo 1
O enunciado pede resolver a equação
Informações e restrições que o enunciado dá:
- Aqui
é o logaritmo decimal (base ). - Domínio natural imposto pelo logaritmo:
. - A incógnita é
real; precisamos encontrar todos os que satisfazem a equação. - Pergunta implícita: quantas soluções reais existem e quais são (valores numéricos aproximados aceitáveis).
Passo 2
Entender sinais e possíveis intervalos onde soluções podem existir.
- Defina
. Procuramos . - Para
: temos . Também porque . Produto de dois negativos é positivo, logo nesse intervalo — então é possível que ocorra aí. - Para
: temos (igual a zero em ), enquanto . Produto é , portanto não pode ser . Assim NÃO há soluções em . - Para
: e para tem , então . Em particular para ambos fatores são positivos so e pode haver solução positiva.
Conclusão parcial pelos sinais: possíveis soluções somente em dois intervalos disjuntos:
Passo 3
Mostrar existência e unicidade de solução em cada intervalo (teorema do valor intermediário + monotonicidade).
- Comportamento nos extremos:
-
e , produto -> . Logo quando . -
. -
. -
.
-
- Pela continuidade de
em e nos intervalos considerados, e observando e , existe pelo menos um com . - Observando
e , existe pelo menos um com . - Monotonicidade (para garantir unicidade):
- Calcule a derivada (lembre:
): - Em
temos , e , enquanto . Assim ambos os termos de são negativos, logo em . Portanto é estritamente decrescente ali e a solução obtida é única nesse intervalo. - Em
temos , e , logo ambos os termos de são positivos e . Assim é estritamente crescente em e a solução em também é única.
Conclusão: existem exatamente duas soluções reais, uma eme outra em .
- Calcule a derivada (lembre:
Passo 4
Encontrar numericamente a solução em
. Método usado: aproximação linear (expansão) perto de
, porque aí
é pequeno e se pode linearizar
ou
.
- Ponha
. No intervalo temos . A equação vira Para próximo de (ou seja próximo de ) podemos usar a aproximação de primeira ordem e . - Substituindo e tomando
no fator cúbico como primeira aproximação , obtemos a equação aproximada Isolando : - Calcule numericamente (usar
): Portanto - Esta aproximação é já bastante boa, porque as correções vindas de substituir
por são pequenas (ordem de no produto). Assim a raiz no intervalo é
Passo 5
Aproximação numérica da solução em
. Uso bissecção/interpolação e avaliações diretas para chegar a boa precisão.
- Já avaliámos alguns pontos úteis:
-
. -
.
Logo a raiz está em.
-
- Fazer avaliações para acharmos a raiz com precisão:
- Tome
. Então , . Além disso . Produto: - Tome
. Então , . . Produto: - Logo a raiz está em
.
- Tome
- Refine por interpolação linear entre os pontos
com e com . - Interpolando para
: - Calcule os números:
- Em vez disso usamos avaliações mais próximas:
e (já calculadas no Passo 2/3): -
. -
.
-
- Interpolando entre esses:
- Interpolando para
- Verificação rápida (aproximada): para
obtemos , , , produto , muito próximo de . Portanto é uma boa aproximação da raiz em .
Passo 6
Resumo das soluções encontradas e verificação de consistência:
- Há exatamente duas soluções reais devido ao comportamento de
nos intervalos estudados e à monotonicidade em cada intervalo. - As aproximações numéricas obtidas são:
- Uma solução no intervalo
: . - Uma solução no intervalo
: .
Ambas foram obtidas por análise de sinais, teorema do valor intermediário e aproximações numéricas (linearização próximo depara a primeira e interpolação/bissecção para a segunda). Dá para melhorar a precisão com mais iterações (método de Newton ou bissecção refinada), mas estas aproximações já são suficientemente precisas para uma prova normal.
- Uma solução no intervalo