\left((x-2)^{2}-1\right) 2^{x}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação
\left((x-2)^{2}-1\right)2^{x}=1
e pede: encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa equação.
Informações explícitas fornecidas:
  • A incógnita é x e o domínio natural é \mathbb{R} (pois 2^{x} está definido para todo x\in\mathbb{R}).
  • O objetivo é resolver a equação para x.

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão algébrica que aparece multiplicando 2^{x}. Note que
(x-2)^{2}-1=(x-2-1)(x-2+1)=(x-3)(x-1).
Portanto a equação fica
(x-3)(x-1)2^{x}=1.

Passo 3

Definimos a função
F(x)=(x-3)(x-1)2^{x}-1.
Resolver a equação equivale a achar as raízes reais de F(x). Vou usar argumentos de continuidade (Teorema do Valor Intermediário) para localizar intervalos onde há raízes e depois aplicar um método numérico (método de Newton) para encontrar aproximações precisas. O motivo: não é possível isolar x em forma elementar (aparece x polinomialmente e também no expoente), então buscamos soluções numéricas.

Passo 4

Análise de comportamento e pontos que ajudam a localizar raízes.
  • Observação dos zeros fáceis: em x=1 e x=3 temos (x-3)(x-1)=0, então (x-3)(x-1)2^{x}=0 nesses pontos; portanto F(1)=-1 e F(3)=-1.
  • Limites: \lim_{x\to -\infty}(x-3)(x-1)2^{x}=0\quad(\text{pois }2^{x}\to0\text{ muito rápido}),á
\lim_{x\to +\infty}(x-3)(x-1)2^{x}=+\infty.
Assim F(x)\to -1 quando x\to -\infty e F(x)\to +\infty quando x\to +\infty.
  • Avaliações pontuais (vou mostrar os cálculos que usei para tomar decisões): F(0)=(0-3)(0-1)2^{0}-1=3\cdot1-1=2>0.
F(1)= -1\quad(\text{já visto}).á
F(-6) = (-9)(-7)2^{-6}-1=\frac{63}{64}-1=-\frac{1}{64}\approx-0,015625.
F(-5)=(-8)(-6)2^{-5}-1=\frac{48}{32}-1=\frac{3}{2}-1=0,5>0.
F(4)=(1)(3)2^{4}-1=3\cdot16-1=47>0.
F(3)= -1\quad(\text{já visto}).á

Passo 5

Uso do Teorema do Valor Intermediário (TVI) para localizar raízes:
  • Entre x=-6 e x=-5: F(-6)\approx-0,015625<0 e F(-5)=0,5>0. Portanto existe pelo menos uma raiz em (-6,-5).
  • Entre x=0 e x=1: F(0)=2>0 e F(1)=-1<0. Logo existe uma raiz em (0,1).
  • Entre x=3 e x=4: F(3)=-1<0 e F(4)=47>0. Logo existe uma raiz em (3,4).
Concluímos que há pelo menos três raízes reais, uma em cada um dos intervalos acima. Pela análise do comportamento da função (continuidade e sinais), são exatamente três raízes reais.

Passo 6

Agora vamos aproximar numericamente cada raiz com o método de Newton. Relembrando o método de Newton: se F é diferenciável, a iteração é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{F(x_{n})}{F'(x_{n})}.
Aqui
F(x)=(x-3)(x-1)2^{x}-1
e derivando (produto e exponencial),
F'(x)=\frac{d}{dx}\big((x-3)(x-1)2^{x}\big) =2^{x}\Big(2x-4+(x^{2}-4x+3)\ln 2\Big).
Explicando: usei a regra do produto e que \frac{d}{dx}2^{x}=2^{x}\ln 2. O termo 2x-4 vem da derivada de x^{2}-4x+3.
Vou aplicar Newton separadamente em cada intervalo, mostrando iterações principais (cada passo com cálculo aproximado).

Passo 7

Raiz no intervalo (-6,-5). Escolho x_{0}=-6.
Cálculo inicial:
F(-6)=\frac{63}{64}-1=-\frac{1}{64}\approx-0,015625.
F'(-6)=2^{-6}\big(-16+63\ln 2\big) \approx\frac{1}{64}\big(-16+63\cdot0,693147\big) \approx0,432253.
Aplicando Newton:
x_{1}=-6-\frac{-0,015625}{0,432253}\approx-5,963846.
Segunda iteração (valores aproximados usados):
F(x_{1})\approx0,0003055,\qquad F'(x_{1})\approx0,438129,
x_{2}\approx -5,963846-\frac{0,0003055}{0,438129}\approx-5,964543.
Terceira iteração muda muito pouco; portanto adotamos como aproximação
x\approx-5,9645.

Passo 8

Raiz no intervalo (0,1). Escolho x_{0}=0{,}75 (porque F(0{,}75) já é pequeno).
Cálculos:
F(0{,}75)=(0{,}75^{2}-4\cdot0{,}75+3)2^{0{,}75}-1=0{,}5625\cdot2^{0{,}75}-1\approx-0,05446.
F'(0{,}75)=2^{0{,}75}\big(-2{,}5+0{,}5625\ln2\big)\approx-3{,}5487.
Newton:
x_{1}=0{,}75-\frac{-0,05446}{-3{,}5487}\approx0{,}73466.
Uma avaliação em x_{1} F(x_{1}) muito próximo de zero (ordem 10^{-4}), então
x\approx0{,}7347.

Passo 9

Raiz no intervalo (3,4). Escolho x_{0}=3{,}05.
Cálculos:
F(3{,}05)\approx -0{,}1519,\qquad F'(3{,}05)\approx17{,}975.
Newton:
x_{1}\approx 3{,}05845.
Segunda iteração:
F(3{,}05845)\approx0{,}0088,\qquad F'(3{,}05845)\approx18{,}341,
x_{2}\approx 3{,}05845-\frac{0{,}0088}{18{,}341}\approx3{,}05797.
Uma iteração adicional afina só marginalmente. Assim
x\approx3{,}0580.

Passo 10

Resumo e interpretação final: a equação tem três raízes reais. Localizamos cada uma com método numérico (Newton) após garantir sua existência pelos sinais e pela continuidade da função.

Resposta

-5,9645
0,7347
3,0580

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