Se x = 3 sec(theta), encontre sen(2 theta) e cos(2 theta) em termos de x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá que e pede para encontrarmos e em termos de . Isso envolve trigonometria, especialmente identidades trigonométricas duplas e relacionamentos entre funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, sabemos que é o inverso de . Então, podemos reescrever a equação dada:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da identidade pitagórica básica:
Como já temos , podemos encontrar :
Então,

Passo 4

Agora, vamos usar as fórmulas das funções trigonométricas duplas:

Passo 5

Substituindo e que encontramos:
Para :
Para :

Resposta

Portanto, em termos de :

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