Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral sen^15(x) cos ^5(x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral sen^15(x) cos^5(x) , dx. Esse tipo de integral faz parte do estudo de funções trigonométricas e suas potências. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar a expressão e encontrar a integral de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, como a potência de seno é ímpar (15 é ímpar), podemos separar um fator de sen(x) para facilitar a substituição. Vamos reescrever a integral assim:
integral sen^15(x) cos^5(x) , dx = integral sen^14(x) cdot sen(x) cos^5(x) , dx

Passo 3

Agora, vamos expressar sen^14(x) de uma forma que possamos relacionar com cos(x). Sabemos que sen^2(x) = 1 - cos^2(x). Então:
sen^14(x) = (sen^2(x))^7 = (1 - cos^2(x))^7

Passo 4

Substituindo de volta na integral, temos:
integral (1 - cos^2(x))^7 cdot sen(x) cos^5(x) , dx
Agora, fazemos a substituição u = cos(x). Então, a derivada de u em relação a x é du = -sen(x) , dx, ou seja, sen(x) , dx = -du.

Passo 5

Substituindo na integral, ficamos com:
integral (1 - u^2)^7 cdot u^5 cdot (-du) = -integral (1 - u^2)^7 u^5 , du

Passo 6

Agora, temos uma integral em termos de u que pode ser resolvida expandindo (1 - u^2)^7 ou integrando diretamente. Para simplificar, vamos expandir a expressão:
(1 - u^2)^7 = sumk=0^7 binom7k (-1)^k u^2k
Portanto, multiplicando por u^5:
u^5 (1 - u^2)^7 = sumk=0^7 binom7k (-1)^k u^5 + 2k

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
-integral sumk=0^7 binom7k (-1)^k u^5 + 2k , du = -sumk=0^7 binom7k (-1)^k u^6 + 2k6 + 2k + C

Passo 8

Finalmente, substituímos u = cos(x) de volta na expressão:
- sumk=0^7 binom7k (-1)^k cos^6 + 2k(x)6 + 2k + C

Resposta

A integral indefinida é:
- sumk=0^7 binom7k (-1)^k cos^6 + 2k(x)6 + 2k + C

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