a) Calcule \frac{d y}{d x}.
b) Encontre a reta tangente em t=1.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
x = t^{2}-t,\qquad y = t^{3}.
O que pede:
(a) calcular \dfrac{dy}{dx} em termos do parâmetro t;
(b) encontrar a reta tangente à curva no ponto correspondente a t=1.
Informações relevantes que temos: as expressões de x(t) e y(t). Nenhuma outra informação é necessária.
Passo 2
Ideia-chave (explicada devagar e de forma intuitiva): quando uma curva é dada por \,x=x(t)\, e \,y=y(t)\,, as variações de x e y em função de t estão relacionadas pela regra da cadeia. Se mudamos t um pouquinho, x e y mudam; o quociente \dfrac{dy}{dx} pode ser escrito como razão entre as derivadas em relação a t:
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq0.
Por que isso funciona? Pense assim: \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt} pela cadeia; isolando \dfrac{dy}{dx} obtemos a fórmula acima. É o mesmo que dizer: mudança de y por mudança de t dividida pela mudança de x por mudança de t dá mudança de y por mudança de x.
Passo 3
Vamos aplicar a regra de derivação (regra do expoente/power rule) às funções dadas.
Derivando x(t)=t^{2}-t em relação a t:
\frac{dx}{dt}=2t-1.
Derivando y(t)=t^{3} em relação a t:
\frac{dy}{dt}=3t^{2}.
Comentário rápido sobre as regras usadas: a derivada de t^{n} é n t^{n-1}. Para t^2 veio 2t; para -t veio -1; para t^3 veio 3t^2.
com a observação de que isso vale quando 2t-1\neq0 (ou seja, t\neq\dfrac{1}{2}). Se 2t-1=0 a derivada \dfrac{dy}{dx} não está definida por essa razão (poderia ser uma tangente vertical).
Passo 5
Agora parte (b): precisamos da reta tangente em t=1. Primeiro calculamos a inclinação (declive) da tangente em t=1 substituindo na expressão que encontramos: